[論文レビュー] The $Z$-Dirac and massive Laplacian operators in the $Z$-invariant Ising model

Béatrice de Tilière|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2017

Theoretical and Computational Physics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、楕円パラメータkを有するZ不変イジング模型の文脈において、Z不変ディラック作用素および質量付きラプラシアン作用素を導入し、逆Zディラック作用素およびZ質量付きグリーン関数を通じて、イジング模型の分配関数とランダムウォークとの直接的な関係を確立する。行列の恒等式を用いて、Kasteleyn行列とフィッシャーおよびXOR-イジンググラフ上のディラック作用素との関係を示し、二乗イジング分配関数が、根付きスパニングフォレストの分配関数に等しい、定数倍を除いてZ質量付きラプラシアンの行列式に等しいことを証明する。

ABSTRACT

Consider an elliptic parameter $k$; we introduce a family of $Z^u$-Dirac operators $(\\mathsf{K}(u))_{u\\in\\Re(\\mathbb{T}(k))}$, relate them to the $Z$-massive Laplacian of [BdTR17b], and extend to the full $Z$-invariant case the results of Kenyon [Ken02] on discrete holomorphic and harmonic functions, which correspond to the case $k=0$. We prove, in a direct statistical mechanics way, how and why the $Z^u$-Dirac and $Z$-massive Laplacian operators appear in the $Z$-invariant Ising model, considering the case of infinite and finite isoradial graphs. More precisely, consider the dimer model on the Fisher graph ${\\mathsf{G}}^{\\scriptscriptstyle{\\mathrm{F}}}$ arising from a $Z$-invariant Ising model. We express coefficients of the inverse Fisher Kasteleyn operator as a function of the inverse $Z^u$-Dirac operator and also as a function of the $Z$-massive Green function; in particular this proves a (massive) random walk representation of important observables of the Ising model. We prove that the squared partition function of the Ising model is equal, up to a constant, to the determinant of the $Z$-massive Laplacian operator with specific boundary conditions, the latter being the partition function of rooted spanning forests. To show these results, we relate the inverse Fisher Kasteleyn operator and that of the dimer model on the bipartite graph ${\\mathsf{G}}^{\\scriptscriptstyle{\\mathrm{Q}}}$ arising from the XOR-Ising model, and we prove matrix identities between the Kasteleyn matrix of ${\\mathsf{G}}^{\\scriptscriptstyle{\\mathrm{Q}}}$ and the $Z^u$-Dirac operator, that allow to reach inverse matrices as well as determinants.

研究の動機と目的

• 楕円パラメータkを有するZ不変イジング模型における、Kenyonの臨界イジング模型における離散的正則関数および調和関数に関する結果を、全Z不変ケースへと拡張すること。
• Z不変イジング模型とZ質量付きラプラシアンおよびZディラック作用素を通じて、質量付きランダムウォークと結びつく統計力学的枠組みを確立すること。
• 二乗イジング分配関数が、特定の境界条件のもとでZ質量付きラプラシアンの行列式に等しいことを証明すること。これは、根付きスパニングフォレストの分配関数に等しい。
• フィッシャーおよびXOR-イジングのdimersモデルの逆Kasteleyn作用素の明示的表現を、逆Zディラック作用素およびZ質量付きグリーン関数を用いて得ること。
• 組合せ論的および作用素論的技法を用いて、Z不変イジング模型における conformal invariance、大偏差、スパニングツリーに関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• u ∈ ℜ(T(k)) をパrameterとするZ不変ディラック作用素（Zu-Dirac）を導入し、k = 0 のときにはKenyonの臨界ディラック作用素に還元されることを示す。
• Z質量付きラプラシアンをZu-Dirac作用素の二乗として定義し、[BdTR17b]における質量付きラプラシアンを、全Z不変設定へと拡張する。
• フィッシャーの対応を用いて、イジング模型をグラフGF上のdimers模型に写像し、Kasteleyn行列KFがPfaffianを用いてイジング分配関数を符号化することを示す。
• 双極的グラフGQ上にXOR-イジング模型を構築し、そのKasteleyn行列KQとZu-Dirac作用素との間の行列恒等式を導出する。
• KFの逆行列の係数が、逆Zu-Dirac作用素およびZ質量付きグリーン関数を用いて表現可能であることを証明し、これによりイジング観測量のランダムウォーク表現が可能になる。
• det(Z質量付きラプラシアン) = 定数 × (イジング分配関数)² が成り立つことを示し、定数を明示的に特定する。これにより、イジング分配関数と根付きスパニングフォレストの分配関数が結びつく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円パラメータkを有する全Z不変イジング模型におけるディラック作用素をどのように一般化できるか。また、その作用素と質量付きラプラシアンとの関係は何か。
• RQ2 フィッシャーおよびXOR-イジングdimersモデルの逆Kasteleyn作用素は、逆Zディラック作用素およびZ質量付きグリーン関数とどのように関係するか。
• RQ3 二乗イジング分配関数を質量付きラプラシアン作用素の行列式として表現できるか。もし可能であれば、境界条件は何か。
• RQ4 イジング模型のボルツマン測度の統計力学的解釈は、(質量付き)ランダムウォークの観点からどのように説明できるか。
• RQ5 KQとZu-Dirac作用素との行列恒等式は、逆作用素および行列式の導出をどのように可能にするか。

主な発見

• フィッシャーのグラフGFにおける逆Kasteleyn作用素 (KF)−1 は、逆Zu-Dirac作用素およびZ質量付きグリーン関数の関数として表現可能であり、これによりイジング観測量のランダムウォーク表現が可能になる。
• 二乗イジング分配関数は、特定の境界条件のもとで、Z質量付きラプラシアンの行列式に等しくなる。これは、根付きスパニングフォレストの分配関数に等しい。
• 臨界極限（k → 0）において、Z質量付きグリーン関数は標準的グリーン関数に還元され、二重グラフGD上の辺の確率はθ/πに収束し、Kenyonの結果が回復される。
• GQ上におけるXOR-イジング模型において、dimers測度の辺の確率が、パrameter u = β における二重グラフGD上のdimers測度の辺の確率に等しいことが示された。
• Jacobiの楕円関数（dn, sn, cn、および質量付きグリーン関数を符号化する関数H(u)を含む）を用いて、逆Kasteleyn作用素 (KF)−1 および (KQ)−1 の明示的公式が導出された。
• KQとZu-Dirac作用素との行列恒等式により、両作用素の逆行列および行列式の計算が可能となり、主なイジング模型の恒等式の導出が可能になった。