[論文レビュー] The Zakai equation of nonlinear filtering for jump-diffusion observation: existence and uniqueness

Claudia Ceci, Katia Colaneri|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、信号過程と観測過程が相関しており、共通のジャンプ時を持つジャンプ・ドリフトモデルにおける非線形フィルタリングのザカイ方程式の解の存在およびパスごとの一意性を確立する。ザカイ方程式とカーシュマ-ストラトニヴィチ方程式の強い一意性の間の同等性を示すことにより、従来拡散型観測に限定されていたフィルタリングマルティンゲール問題のアプローチをジャンプ・ドリフト設定に拡張し、非正規化フィルタが線形SDEを介して明確に定義され、計算的に取り扱えることを保証する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the nonlinear filtering problem for a general Markovian partially observed system (X,Y), whose dynamics is modeled by correlated jump-diffusions having common jump times. At any time t, the sigma-algebra generated by the observation process Y provides all the available information about the signal X. The central goal of stochastic filtering is to characterize the filter which is the conditional distribution of X, given the observed data. It has been proved in Ceci-Colaneri (2012) that the filter is the unique probability measure-valued process satisfying a nonlinear stochastic equation, the so-called Kushner-Stratonovich equation (KS-equation). In this paper the aim is to describe the filter in terms of the unnormalized filter, which is solution to a linear stochastic differential equation, called the Zakai equation. We prove equivalence between strong uniqueness for the solution to the Kushner Stratonovich equation and strong uniqueness for the solution to the Zakai one and, as a consequence, we deduce pathwise uniqueness for the solutions to the Zakai equation by applying the Filtered Martingale Problem approach (Kurtz-Ocone (1988), Kurtz-Nappo (2011), Ceci-Colaneri (2012)). To conclude, we discuss some particular cases.

研究の動機と目的

• 部分的に観測可能なマルコフ過程に従う系における非線形フィルタリングの非正規化フィルタ（ザカイ方程式）の存在および一意性を確立すること。
• 従来拡散型観測に限定されていたフィルタリングマルティンゲール問題のアプローチを、共通のジャンプ時を持つジャンプ・ドリフト型観測に拡張すること。
• この設定において、カーシュマ-ストラトニヴィチ方程式とザカイ方程式の強い一意性が同等であることを示し、ザカイ解のパスごとの一意性を保証すること。
• ガラーキン法や量子化法などの数値的手法を混合型観測モデルにおけるザカイ方程式に適用するための確立された確率的基盤を提供すること。
• 金融的・工学的応用で一般的な相関するジャンプを有する系への非線形フィルタリングの先行結果を一般化すること。

提案手法

• 観測フィルトレーション上でのギルサノフ型測度変換を適用することにより、非正規化フィルタのための線形確率微分方程式としてザカイ方程式を導出する。
• ラドン＝ニコディム微分を介して、正規化フィルタと非正規化フィルタを関連付けるためにカリャンプル＝ストリーベルの公式を用いる。
• 既知のカーシュマ-ストラトニヴィチ方程式のパスごとの一意性結果を活用し、フィルタリングマルティンゲール問題のアプローチを用いてザカイ方程式の強い一意性を証明する。
• 基礎となるSDEの解の存在および一意性を保証するため、ドリフト項、拡散項およびジャンプ係数に成長条件および局所リプシッツ条件を課す。
• 実数値の確率的カウント測度を取り扱えるように、ジャンプ測度の遷移関数を導入し、密度過程の構築を可能にする。
• ドレアン＝ダッド指数を用いて、測度変換を生成する局所マルティンゲールを定義し、新たな確率測度下での正値性および可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通のジャンプ時を持つ相関するジャンプ・ドリフト型観測を持つ非線形フィルタリング問題において、ザカイ方程式は一意な解をもつか？
• RQ2 フィルタリングマルティンゲール問題のアプローチを、ジャンプ・ドリフトモデルにおけるザカイ方程式のパスごとの一意性の証明に拡張できるか？
• RQ3 この設定において、ザカイ方程式の解の強い一意性は、カーシュマ-ストラトニヴィチ方程式の解の強い一意性と同等か？
• RQ4 非正規化フィルタ過程が新たな確率測度下で正しく定義され、ほとんど確実に正値を保つための条件は何か？
• RQ5 混合型観測モデルにおいて、非正規化フィルタは非線形カーシュマ-ストラトニヴィチ方程式の計算的に実行可能な代替手段として利用可能か？

主な発見

• 与えられた係数に関する成長条件および局所リプシッツ条件のもとで、ザカイ方程式の解は存在し、パスごとに一意である。
• カーシュマ-ストラトニヴィチ方程式の強い一意性は、ザカイ方程式の強い一意性を含み、逆も成り立つ。これにより両者の同等性が確立される。
• 新たな確率測度下で非正規化フィルタ過程はほとんど確実に正値をとるため、カリャンプル＝ストリーベルの公式の有効性が保証される。
• フィルタリングマルティンゲール問題のアプローチはジャンプ・ドリフトモデルにうまく拡張可能であり、ザカイ方程式のパスごとの一意性の証明が可能になる。
• 遷移関数の仮定により、実数値の確率的カウント測度の取り扱いが可能となり、ジャンプ測度解析における技術的障害を克服できる。
• 本研究の結果は、線形ザカイ方程式にガラーキン法や最適量子化法などの数値近似手法を適用するための厳密な基盤を提供する。