[論文レビュー] The Zeta function, Periodic Points and Entropies of the Motzkin Shift

Kokoro Inoue|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2006

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、S表現を用いた有限有向グラフと逆半群構造を通じて、モツキンシフトのゼータ関数、周期的点の個数、エントロピーを計算する手法を提示する。周期的点をその乗数の性質（正、負、中立）によって分類し、エッジシフトとの間の全単射を構成することで、ゼータ関数、周期的点の個数、エントロピーの正確な公式を導出する。これにより、ダックシフトに関する既知の結果が、追加のニュートラル記号を含むより広範なモツキンシフトクラスへ一般化され、明示的な閉形式の式が得られる。

ABSTRACT

We discuss a method of calculating the zeta function of subshifts which have a presentation by a finite directed graph labeled by elements of the associated inverse semigroup. This class of subshifts is introduced as a class of property A subshifts(T.Hamachi, K.Inoue and W.Krieger/Subsystems of finite type and semigroup invariants of subshifts, preprint), and the Dyck shift and the Motzkin shift are representative subshifts in this class. The exact number of the periodic points and entropies are also given by this method, and these values are used in the embedding condition for an irreducible shift of finite type into a subshift in this class.

研究の動機と目的

• S表現を有する符号のゼータ関数、周期的点の個数、エントロピーを体系的に計算するための手法を開発すること。特に、モツキンシフトを対象とする。
• ダックシフトに関する既知の結果を、追加のニュートラル記号を含むより一般的なモツキンシフトへ一般化すること。
• 乗数分類と全単射を用いて、モツキンシフト内の周期的点とエッジシフトとの間の関係を確立すること。
• 非可約な有限型符号の埋め込み条件を可能にするために、周期的点の個数およびエントロピー値の正確な公式を提供すること。

提案手法

• 周期的定義ブロックの赤マッピングから得られる乗数の性質（正、負、中立）に基づいて、モツキンシフト内の周期的点を分類する。
• 特定の乗数タイプを有する周期的点の集合と、簡略化されたグラフ G' および G'' のエッジシフトとの間の明示的全単射を構成する。
• シュッツェンベルガーの方法と巡回コードの母関数を用いて、エッジシフトの母関数からゼータ関数を計算する。
• 部分成分の母関数に基づき、平方根を含む有理関数として、完全なモツキンシフトのゼータ関数を導出する。
• 包含除算を用いて周期的点の個数を計算する。全個数を正部・負部の寄与に分解し、重複する構造からの過剰カウントを差し引く。
• 関連するグラフの主要固有値の対数として、位相的エントロピーを生成関数の収束半径から計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S表現およびエッジシフトの全単射を用いて、どのようにしてモツキンシフトのゼータ関数を計算できるか？
• RQ2 モツキンシフトにおける周期 n の周期的点の正確な個数は何か？また、異なる乗数タイプからの寄与にどのように分解されるか？
• RQ3 モツキンシフトの位相的エントロピーは何か？また、ダックシフトのそれと比較するとどうなるか？
• RQ4 モツキンシフトの h+ と h− のエントロピーは、シフトの構造とどのように関係しているか？また、どのような条件下でそれらが異なるか？
• RQ5 ダックシフトに関する既知の結果と母関数を用いて、モツキンシフトのゼータ関数を閉形式で表現できるか？

主な発見

• モツキンシフトのゼータ関数は、次の閉形式の式で与えられる： ζ(X(M),z) = 2(1+√(1−8Mz²)) / [(1−4Mz+√(1−8Mz²))(1−4z+√(1−8Mz²))]。
• モツキンシフトにおける周期 n の周期的点の個数は、偶数 n に対して (2M+1)^n + (M+2)^n − ∑_{i=0}^{[n/2]} (n choose i) 2^i (M^i + M^{n−i}) + (n choose n/2)(2M)^{n/2} であり、奇数 n に対しては同様の式に係数 2 が付加される。
• モツキンシフトの位相的エントロピーは h(X(M)) = log(M+2) であり、h+ = log(2M+1) および h− = log(M+2) である。M > 1 のとき、非対称性が顕在化する。
• ダック型パスの集合 E の母関数は f(E,z) = (1/2)(1−√(1−8Mz²)) であり、これはダックシフト D_{2M} のそれと同一である。
• 正部および負部のゼータ関数は、それぞれ ζ+(X(M),z) = 2 / (1−4Mz+√(1−8Mz²)) および ζ−(X(M),z) = 2 / (1−4z+√(1−8Mz²)) である。
• 周期的点の母関数の収束半径は、h+ に対して 1/(2M+1)、h− に対して 1/(M+2) であり、エントロピー値が収束半径の逆数として確認される。