[論文レビュー] The Zetafast algorithm for computing zeta functions

Kurt W. Fischer|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

Zetafast アルゴリズムは、関数方程式から導かれる3つの絶対収束級数に基づき、任意精度でリーマン・ゼータ関数および関連するL関数を計算するための新規な手法を提供する。任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、高々 $ C(\epsilon)|\tau|^{1/2+\epsilon} $ 個の和項で実現可能であり、明示的な誤差境界を備え、ディリクレL関数や類似の関数方程式を持つその他のゼータ関数へも応用可能である。

ABSTRACT

We express the Riemann zeta function $ζ\left(s ight)$ of argument $s=σ+iτ$ with imaginary part $τ$ in terms of three absolutely convergent series. The resulting simple algorithm allows to compute, to arbitrary precision, $ζ\left(s ight)$ and its derivatives using at most $C\left(ε ight)\left|τ ight|^{\frac{1}{2}+ε}$ summands for any $ε>0$, with explicit error bounds. It can be regarded as a quantitative version of the approximate functional equation. The numerical implementation is straightforward. The approach works for any type of zeta function with a similar functional equation such as Dirichlet $L$-functions, or the Davenport-Heilbronn type zeta functions.

研究の動機と目的

• リーマン・ゼータ関数 $ \zeta(s) $ を任意精度で計算する高速かつ数値的に安定したアルゴリズムの開発。
• $ \zeta(s) $ 及びその導関数の近似における明示的で定量的な誤差境界の提供。
• 関数方程式の条件を満たす場合、ディリクレL関数やダベンポート＝ハイルブロン型ゼータ関数を含む他のゼータ関数へのこの手法の拡張。
• リーマン＝シーゲルの公式と同等の性能を発揮しつつ、厳密な誤差制御と収束保証を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、正規化された不完全ガンマ関数 $ Q(v, n/N) $ を用いて、$ \zeta(s) $ を3つの絶対収束級数 $ D(s) $、$ E_1(s) $、$ E_{-1}(s) $ の和として表現する。
• ゼータ関数の関数方程式を活用し、$ n $ に関する和と $ m $ に関する和の間の双対性を、位相およびガンマ関数の補正項を含めて表現する。
• $ D(s) $ は $ \lceil \lambda v N \rceil $ で切り捨てられ、$ \lambda = 3.151 $ であり、誤差が $ \delta/3 $ 未満であることを保証する。
• $ E_\mu(s) $ 級数の誤差は漸近展開とガンマ関数および二項展開を用いた剰余項の境界により制御される。
• $ v = \lceil x_0 \rceil $ とし、$ x_0 $ が方程式 $ x - \max((1-\sigma)/2, 0)\ln(1/2 + x + \tau) = \ln(8/\delta) $ を満たすように選ぶことで、精度と計算コストのバランスをとる。
• 特性 $ \chi $ とガウス和 $ G(\chi) $ を関数方程式の構造に組み込むことで、ディリクレL関数への一般化が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・ゼータ関数は、有限個の項と明示的な誤差境界を用いて、任意精度で計算可能か？
• RQ2 $ s $ の虚部 $ \tau $ に伴い、必要な和項の数はどのように増加するか？ 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して $ O(|\tau|^{1/2+\epsilon}) $ で抑えられるか？
• RQ3 このアルゴリズムは、ディリクレL関数や類似の関数方程式を持つその他のゼータ関数へ拡張可能か？
• RQ4 与えられた精度 $ \delta $ を達成するために必要な最小の項数は何か？ そして、その最適化は可能か？

主な発見

• Zetafast アルゴリズムは、誤差 $ \delta $ 以内で $ \zeta(s) $ を計算可能であり、使用する和項数は $ S \leq 2 + 8\sqrt{1 + \ln(8/\delta) + \max((1-\sigma)/2, 0)\ln(2\tau)}\sqrt{1 + \tau} $ に抑えられ、明示的な誤差制御が可能である。
• $ \tau > \frac{5}{3}(\frac{3}{2} + \ln(8/\delta)) $ の場合、和項数は任意の $ \epsilon > 0 $ に対して $ O(|\tau|^{1/2+\epsilon}) $ のスケーリングを示し、リーマン＝シーゲルの公式と同等の漸近的効率を達成する。
• 固定された $ \lambda = 3.151 $ を用いることで、任意精度が達成可能であり、$ D(s) $ の剰余項は $ \delta/3 $ 未満に抑えられ、$ E_\mu(s) $ に対しても同様の境界が成り立つ。
• 原始的で非自明な特徴を持つディリクレL関数に対しても、ガウス和と関数方程式の構造を組み込むことで、この手法を拡張可能である。
• $ \zeta(s) $ の導関数は、級数の項ごとの微分により計算可能であり、同じ枠組みから明示的な誤差境界を導出可能である。
• 本手法は、すべての成分と誤差境界が明示的に計算可能な、近似関数方程式の定量的版を提供する。