[論文レビュー] Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes

Leonhard Euler, Artur Diener+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

History and Theory of Mathematics被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、主に有理数の直角三角形の面積が完全平方数になれないことを示す、幾つかの古典的数論的定理のオリジナルな解析的証明を提示している。これは、二つの四乗数の和または差が完全平方数になれないことを示唆する。オイラーは無限降下法とピタゴラス数のパラメータ表示を用いて、8 + 1 = 9 を除き、立方数±1 が完全平方数になれないことを証明し、さらにこれを拡張して、1 を除き、三角数が完全四乗数になれないことを示している。

ABSTRACT

Euler proves that the sum of two 4th powers can't be a 4th power and that the difference of two distinct non-zero 4th powers can't be a 4th power and Fermat's theorem that the equation x(x+1)/2=y^4 can only be solved in integers if x=1 and the final theorem y^3+1=x^2 can only be solves for x=3 and y=2 in integers. The paper is translated from Euler's Latin original into German.

研究の動機と目的

• フェルマーが主張したか、曖昧な推論に基づいていた古典的数論的命題について、厳密な解析的証明を提供すること。
• 有理数の直角三角形の面積が完全平方数になれるかどうかという長年の未解決問題を解明すること。
• 8 + 1 = 9 の場合を除き、立方数±1 が完全平方数になれないことを証明すること。
• これらの結果を拡張し、1 を除き、三角数が完全四乗数になれないことを示すこと。
• 証明を幾何的直感から切り離し、より広範なアクセスと分析的明確さを実現する代数的形で提示すること。

提案手法

• 無限降下法を用いて、有理数の直角三角形の面積が完全平方数になれないことを証明する。
• 互いに素な整数 p と q（片方が偶数、もう片方が奇数）を用いた原始ピタゴラス数のパラメータ表示を用い、各辺を a = p² - q² および b = 2pq として表現する。
• 補題1：互いに素な整数の積が完全累乗であるための必要十分条件は、各因子ごとが完全累乗であること。
• a³b + b⁴ の形の式がいつ完全平方数になるかを分析し、ディオファントス方程式の系に還元する。
• a + b = c と置換し、3 で割り切れるかどうかのケース分けを施して、式が完全平方数になるのは a = 2b の場合に限ることを示す。
• 有理数のパラメータ表示と代入（例：m/n = (3qq + pp) / (2pq)）を用い、解をより小さいものに還元し、自明な場合を除き矛盾に至ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数の直角三角形の面積が完全平方数になることはあり得るか？
• RQ2 立方数±1 が完全平方数になる条件は何か？
• RQ3 1 を除き、完全四乗数である三角数は存在するか？
• RQ4 二つの四乗数の和または差が完全平方数になることはあり得るか？
• RQ5 α³βx⁴ ± αβ³y⁴ の形の式が完全平方数になるための条件は何か？

主な発見

• 有理数の直角三角形の面積は完全平方数になれない。これは、二つの四乗数の和または差が完全平方数になれないことを示唆する。
• 立方数に1を加えたものが完全平方数になる唯一の場合は、立方数が8のときで、9 = 3² となる。
• 同様に、立方数から1を引いたものが完全平方数になることは、有理数においてもあり得ない。
• 任意の非ゼロ整数 x, y に対して、x⁶ + y⁶ は完全平方数にならない。
• 任意の非ゼロ整数 x, y に対して、x⁶ - y⁶ は完全平方数にならない。
• 完全四乗数である三角数は 1 のみであり、T₁ = 1 = 1⁴ である。