[論文レビュー] Theoremizing Yablo's Paradox

Ahmad Karimi, Saeed Salehi|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、線形時相論理（LTL）における定理として、ヤーブルの自己言及的でないパラドックスを形式化し、特定のモーダル作用素—特に真偽値に関する無限後向き量化を表すもの—が不動点を持てないことを示している。'常に'、'やがて'、'次'の作用素を含む時相論理式にパラドックスを翻訳することで、$ olinebreak[4]\Box(\varphi \leftrightarrow \Circle\diamondsuit\Box\neg\varphi)$ のような文が充足不能であることを証明し、ヤーブルのパラドックスをモーダル論理における数学的定理の新しいクラスとして確立している。

ABSTRACT

To counter a general belief that all the paradoxes stem from a kind of circularity (or involve some self--reference, or use a diagonal argument) Stephen Yablo designed a paradox in 1993 that seemingly avoided self--reference. We turn Yablo's paradox, the most challenging paradox in the recent years, into a genuine mathematical theorem in Linear Temporal Logic (LTL). Indeed, Yablo's paradox comes in several varieties; and he showed in 2004 that there are other versions that are equally paradoxical. Formalizing these versions of Yablo's paradox, we prove some theorems in LTL. This is the first time that Yablo's paradox(es) become new(ly discovered) theorems in mathematics and logic.

研究の動機と目的

• 自己言及のないパラドックスが存在し得るかどうかという長年の哲学的・論理的課題を、ヤーブルのパラドックスを厳密な論理的枠組みで形式化することで解決すること。
• 伝統的に意味論的または認識論的パズルと見なされてきたヤーブルのパラドックスが、線形時相論理（LTL）における真正の数学的定理に変換可能であることを示すこと。
• 特定の時相作用素—特に真と偽の無限連鎖を含むもの—が不動点文を支持できず、したがって論理的に不可能であることを示すこと。
• ラッセルのパラドックスやグレリンのパラドックスといった古典的例にとどまらず、自己言及的でない新しいパラドックスにまで、パラドックスから定理への変換を拡張すること。
• パラドックス的推論とモーダル論理・時相論理における証明可能定理との間の正式な橋渡しを確立し、計算可能性と証明理論の論理的基盤を豊かにすること。

提案手法

• 各$\mathcal{Y}_n$が以降のすべての文が偽であると主張する文の列$\mathcal{Y}_n$を用いてヤーブルのパラドックスを形式化し、$\mathcal{Y}_n \leftrightarrow \forall k>n\ (\mathcal{Y}_k \text{ は真ではない})$ と表す。
• 時相論理の作用素である$\Box$（常に）、$\diamondsuit$（やがて）、$\Circle$（次）を用いて、真偽値の依存関係の無限鎖を表現することで、パラドックスを線形時相論理（LTL）に翻訳する。
• 特に'ほとんど常に'や'無限に何度も'のバージョンを表すために、$\varphi \leftrightarrow \Circle\diamondsuit\Box\neg\varphi$ といった重要な時相論理式を定義する。
• Kripke意味論を用いてこれらの論理式の充足可能性を分析し、$\Box(\varphi \leftrightarrow \Circle\diamondsuit\Box\neg\varphi)$ が成り立つモデルを仮定すると矛盾が生じることを示す。
• 背理法を用いる：$\varphi$ が真である状態を仮定すると、その後の状態で$\varphi$ が偽でなければならないが、逆にそれも矛盾を引き起こす。
• 双対性と代入（例：$\varphi$ を $\neg\varphi$ に置き換える）を用いて、核心的な結果から追加の定理を導出し、$\neg\Box(\varphi \leftrightarrow \Circle\Box\diamondsuit\neg\varphi)$ といった結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤーブルの自己言及的でないパラドックスは、明確に定義された論理的体系において有効な定理として形式化可能か？
• RQ2 真偽値に関する無限後向き量化を表す時相作用素は、線形時相論理で不動点を許容するか？
• RQ3 モーダル論理を用いてヤーブルのパラドックスの無限帰納的構造を形式的に捉える方法は存在するか？ その論理的帰結は何か？
• RQ4 ヤーブルの構成のパラドキシカル性は、線形時相論理（LTL）において証明可能な不整合性に変換可能か？ それによって意味的パラドックスが文法的定理に変容するか？
• RQ5 このような変換が、自己言及、対角線的補完、不動点定理に関する論理の基礎に与える影響は何か？

主な発見

• 線形時相論理において、式$\Box(\varphi \leftrightarrow \Circle\diamondsuit\Box\neg\varphi)$ は充足不能であり、したがって不動点の不可能性が証明される。
• 本論文は、$\text{LTL} \models \neg\Box(\varphi \leftrightarrow \Circle\diamondsuit\Box\neg\varphi)$ を有効な定理として確立し、ヤーブルのパラドックスの'ほとんど常に'版を正式に捉えている。
• 双対性と代入を用いることで、結果は$\text{LTL} \models \neg\Box(\varphi \leftrightarrow \Circle\Box\diamondsuit\neg\varphi)$ に拡張され、'無限に何度も'版に対しても同様の不整合が成立することが示された。
• 証明技法は、$\varphi$ が真である状態を仮定することで矛盾を導くものであり、それにより後続の状態で$\varphi$ が偽でなければならないが、その後再び真でなければならないという矛盾が生じ、一貫性が破られる。
• 著者らは、LTLにおける多くの作用素が不動点を持つ一方で、ヤーブルのパラドックスが持つ真偽値依存の無限鎖構造が、このような不動点の存在を不可能にすることを示した。
• 本研究は、ヤーブルのパラドックスが、単なる意味的パズルや既存の結果の証明に用いる道具ではなく、形式論理における真に新しい非自明な数学的定理に変換された初の試みである。