[論文レビュー] Theorems of Barth-Lefschetz type on Kaehler manifolds of non-negative bisectional curvature

Meeyoung Kim, Jon Wolfson|ArXiv.org|Feb 9, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなヘルミート対称空間における複素正定性を計算し、非負の双断面曲率をもつケーラー多様体におけるバーサ・レフシェッツ型定理の拡張に応用する。経路空間上のモース理論と対称空間における曲率計算を組み合わせることで、部分多様体間の包含写像によって誘導されるホモトピー群の同型および全射の範囲を確立し、射影空間からの一般化を、次元および構造定数に基づく明示的な位相的境界を用いて行う。

ABSTRACT

Theorems of Barth-Lefschetz type describe restrictions on the topology of varieties of small codimension. R. Schoen and J. Wolfson, using Morse theory on a path space, have described a technique to prove theorems of this kind for complex submanifolds of Kähler manifolds of non-negative holomorphic bisectional curvature. In this paper this program is carried out for the compact Hermitian symmetric spaces. The key technical point is to define and compute an invariant, called the {\it complex positivity}, that measures the ``amount'' of positive curvature, in a suitable sense.

研究の動機と目的

• すべてのコンパクトなヘルミート対称空間に対する複素正定性不変量 ℓ を計算すること。これは、ホロモルフィック双断面曲率の正定性を測る重要な数値的指標である。
• シューエン＝ウォルフソンによる複素射影空間におけるホモトピー的バーサ・レフシェッツ定理を、すべてのコンパクトなヘルミート対称空間へと拡張すること。
• これらの対称空間内の複素部分多様体間の包含写像によって誘導されるホモモルフィズムの明示的なホモトピー同型および全射の範囲を提供すること。
• 先行研究で誤って記述されていた複素二次曲面の場合のバーサ・レフシェッツ定理の記述を是正・完全化すること。
• [S-W]の手法がすべてのヘルミート対称空間に一様に適用可能であることを示し、問題を標準的なルート系および曲率テンソルの計算に還元すること。

提案手法

• アーモニウスケーラー多様体の曲率テンソルを用いて、すべての複素直線におけるホロモルフィック双断面曲率の下界として複素正定性 ℓ を計算する。
• 部分多様体 M と N 間の経路空間上のエネルギーの2次変動公式を適用し、臨界点は両者に直交する測地線に対応する。
• Kähler条件を活用して、R(JX, X)Y, JY に関する恒等式を用い、2次変動をホロモルフィック双断面曲率の形に表現する。
• ヘルミート対称空間の接空間がルート空間の直和として構造することを活用し、根 Ψ によってインデックス付けられた正規直交基底を導入する。
• ルート系の分解を用いて、最大アーベル部分代数に属する X に対して ℓ(X ∧ JX) を計算し、問題を根の間の非ゼロ内積 (α, γ) の数え上げに還元する。
• 分離性群作用を用いて、|Ψ′_α| の最小値が α に依存しないことを示し、最終的に各対称空間に対して ℓ = |Ψ′_α| という公式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各コンパクトなヘルミート対称空間における複素正定性 ℓ は何か？ そして、これは部分多様体に及ぼす位相的制約をどのように決定づけるか？
• RQ2 [S-W]のバーサ・レフシェッツ型定理は、複素射影空間を超えて他のヘルミート対称空間へと拡張可能か？
• RQ3 これらの空間における部分多様体間の包含写像 i* の正確なホモトピー同型および全射の範囲は何か？
• RQ4 なぜ複素二次曲面の場合には元の[S-W]の記述が誤りであり、本研究ではどのように是正されるのか？
• RQ5 ルート系および曲率テンソルの構造は、対称空間における最小曲率値 ℓ をどのように決定づけるか？

主な発見

• 複素グラスマン多様体 Gr(p, p+q; ℂ) における複素正定性 ℓ は ℓ = p + q - 1 である。
• 実グラスマン多様体 Gr(2, p+2; ℝ) における複素正定性は ℓ = p - 1 である。
• Sp(r)/U(r) における複素正定性は ℓ = r である。
• SO(2r)/U(r) における複素正定性は ℓ = (r - 1) + (r - 2) = 2r - 3 である。
• E₆/(Spin(10) × T¹) における複素正定性は ℓ = 11 である。
• E₇/(E₆ × T¹) における複素正定性は ℓ = 17 である。