[論文レビュー] Theoretical and computational aspects of entanglement

Harm Derksen, Shmuel Friedland+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 38被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、量子系における幾何的エンタングルメントとノルムの最大化の双対性を確立し、幾何的エンタングルメント測度が最大である状態が同時にノルムも最大に達することを証明する。混合d部量子状態のd-密度テンソルを導入し、分離可能性がノルムが1に等しいことと同値であることを示し、ノルムを計算するための交互アルゴリズムを提案。数値的検証により、3キュービット系におけるW状態が最大エンタングル状態であり、4キュービット系における日比野＝スダベリーの予想が裏付けられる。

ABSTRACT

We show that the two notions of entanglement: the maximum of the geometric measure of entanglement and the maximum of the nuclear norm is attained for the same states. We affirm the conjecture of Higuchi-Sudberry on the maximum entangled state of four qubits. We introduce the notion of d-density tensor for mixed d-partite states. We show that d-density tensor is separable if and only if its nuclear norm is $1$. We suggest an alternating method for computing the nuclear norm of tensors. We apply the above results to symmetric tensors. We give many numerical examples.

研究の動機と目的

• d部量子系におけるテンソルの幾何的エンタングルメント測度とノルムの理論的・計算的関係を確立すること。
• 幾何的測度による最大エンタングル状態が、正確にノルムの最大値を達成することを証明し、4キュービット系の最大エンタングル状態に関する予想を裏付けること。
• 混合d部状態のd-密度テンソルの概念を導入し、ノルムが1に等しいことと分離可能性が同値であることを特徴づけること。
• 特に対称テンソルに対して、ノルムを計算するための交互アルゴリズムを開発・検証し、既知のエンタングル状態に対して数値的確認を行うこと。
• 対称dキュービット状態（ボソン）がdが大きいほどエンタングルメントが小さくなり、かつそのエンタングルメントが多項式時間で効率的に計算可能であることを示すこと。

提案手法

• スペクトルノルムの手法に類似した、テンソルのノルムを計算するための交互最適化アルゴリズムを提案し、局所的最小値または臨界点に収束することを示す。
• 混合d部状態の密度行列の一般化としてd-密度テンソルを導入し、分離可能性がノルムが正確に1に等しいことと同値であることを示す。
• ノルムを非分離性の尺度として用い、ノルムは常に1以上であり、1に等しいのは分離状態に限ることを示す。
• 対称テンソルに対応する交互アルゴリズムを適応し、Nie（2012）の半定値計画緩和法と比較する。
• 数値的ソフトウェアを用いて、W状態やd対称キュービット状態を含む、対称dキュービット状態のスペクトルノルムおよびノルムを計算する。
• 実数および複素数の両分野において、対称状態のランダムサンプリングを用いて、アルゴリズムの頑健性と一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的エンタングルメント測度が最大である状態は、同時にノルムも最大に達するか？
• RQ2 d-密度テンソルのノルムが1に等しいのは、その状態が分離可能であるときのみか？
• RQ3 交互アルゴリズムは、特に対称テンソルに対して、高精度で信頼性高くノルムを計算できるか？
• RQ4 3キュービット系においてW状態が最もエンタングルされた状態であるか？ また、日比野とスダベリーが予想した4キュービット状態は最大エンタングル状態を達成するか？
• RQ5 対称dキュービット状態はdが大きくなるとエンタングルメントが小さくなり、かつそのエンタングルメントは多項式時間で計算可能か？

主な発見

• 最大の幾何的エンタングルメント測度と最大のノルムは、同一の量子状態で達成され、これら2つのエンタングルメント測度の双対性が確認された。
• d-密度テンソルのノルムが正確に1であることは、その状態が分離可能であることと同値であり、ノルムに基づく分離可能性の完全な特徴づけが得られた。
• 日比野＝スダベリーの4キュービット系最大エンタングル状態に関する予想は、数値的計算と理論的分析により真であると確認された。
• 3キュービット系において、W状態がスペクトルノルムおよびノルムの数値的計算により、最もエンタングルされた状態であることが確認された。
• 文献[2]で提案されたd対称キュービット状態は、d=3〜6について数値的に、最もエンタングルされた対称dキュービット状態であることが確認された。
• ノルム計算のための交互アルゴリズムは信頼性高く収束し、半定値計画緩和法の結果とも一致し、実数および複素数の両方の対称テンソルで一貫した性能を示した。