[論文レビュー] Theoretical and numerical studies on global stability of traveling waves with oscillations for time-delayed nonlocal dispersion equations

Tianyuan Xu, Shanming Ji+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、重み付きエネルギー法と基本解理論を組み合わせることで、時間遅れ付き非局所分散方程式における時間的振動を示す移動波のグローバル安定性を確立する。非臨界波に対しては時間指数的収束率、臨界振動波に対しては時間代数的収束率を最適化することを証明し、人工的粘性を導入した新しい有限差分スキームを用いて数値的に検証した。

ABSTRACT

This paper is concerned with the global stability of non-critical/critical traveling waves with oscillations for time-delayed nonlocal dispersion equations. We first theoretically prove that all traveling waves, especially the critical oscillatory traveling waves, are globally stable in a certain weighted space, where the convergence rates to the non-critical oscillatory traveling waves are time-exponential, and the convergence to the critical oscillatory traveling waves are time-algebraic. Both of the rates are optimal. The approach adopted is the weighted energy method with the fundamental solution theory for time-delayed equations. Secondly, we carry out numerical computations in different cases, which also confirm our theoretical results. Because of oscillations of the solutions and nonlocality of the equation, the numerical results obtained by the regular finite difference scheme are not stable, even worse to be blow-up. In order to overcome these obstacles, we propose a new finite difference scheme by adding artificial viscosities to both sides of the equation, and obtain the desired numerical results.

研究の動機と目的

• 時間遅れ付き非局所分散方程式における振動的移動波のグローバル安定性を調査すること。
• 臨界および非臨界振動的移動波への解の収束挙動を分析すること。
• 時間遅れ付き非局所方程式の振動的解を解く際、標準的な有限差分スキームが示す数値的不安定性を克服すること。
• 人工的粘性を用いて、非局所的で時間遅れ付きの系の長時間ダイナミクスを正確にシミュレートできる安定化された数値スキームを開発すること。
• さまざまなパrameter領域における数値計算を通じて、理論的安定性結果を確認すること。

提案手法

• 時間遅れ付き偏微分方程式に対して、重み付きエネルギー法と基本解理論を組み合わせる。
• 線形化系のラプラス変換を用いて、波速およびスペクトル特性の特徴方程式を導出する。
• 重み付きソボレフ空間における収束率を確立する：非臨界波に対しては指数的、臨界波に対しては代数的。
• 両側に人工的粘性を追加することで、振動的で非局所的な解を安定化する新しい有限差分スキームを提案する。
• 時間遅れ付き非局所PDEを数値的に解くために、メソッド・オブ・ラインズと半離散化を用いる。
• 複数のパrameterケースにおいて、数値解と解析的移動波プロファイルを比較することで理論的結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間遅れ付き非局所分散方程式における非臨界および臨界振動的移動波への解の収束率は何か？
• RQ2 時間遅れは、このような系における臨界移動波の振動的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ3 標準的な有限差分スキームは、振動的で非局所的、時間遅れ付き方程式を信頼性高くシミュレートできるのか、それとも不安定性や発散を示すのか？
• RQ4 非局所的で時間遅れ付きPDEにおける振動的解の計算を安定化するための数値戦略は何か？
• RQ5 時間遅れ、出生/死滅率比などのパrameter条件下で、臨界波が単調から振動的へと遷移する条件は何か？

主な発見

• 非臨界振動的移動波は、重み付き空間において時間指数的収束率で平衡状態に収束するが、これは最適である。
• 臨界振動的移動波は時間代数的収束率で収束するが、これも最適であり、鋭い減衰挙動を確認する。
• $ p=5, r=0.2 $ の場合、臨界波速は $ c^* = 5.104 $ であり、解は単調な移動波に単調に収束する。
• $ p=5, r=2 $ の場合、臨界波速は $ c^* = 1.311 $ に低下し、大きな時間遅れのため解は振動的移動波に収束する。
• $ p=10, r=0.2 $ の場合、$ c^* = 7.153 $ であり、$ r < \underline{r} = 0.225 $ であるため波は単調のままであり、理論的予測と整合的である。
• $ p=10, r=2 $ の場合、$ c^* = 1.618 $ であり、$ \underline{r} < r < \overline{r} $ であるため解は振動的波に収束する。これは振動的領域を確認する。