[論文レビュー] Theories homotopiques de Quillen combinatoires et derivateurs de Grothendieck

Olivier Renaudin|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、クィルレン同値に関して、組合せ的クィルレンモデル圏の2カテゴリの擬局所化を構成し、それが右および左随伴を持つグロテンディークの導来圏の2カテゴリに完全かつ忠実に埋め込まれることを証明する。ダガーの提示結果とチシンスキーの導来圏の道具立てを用いて、組合せ的クィルレン理論のホモトピー2カテゴリと右／左随伴を持つ導来圏の2カテゴリとの間に局所同値を確立し、導来圏が組合せ的モデル圏の本質的なホモトピー的構造を捉えていることを示している。

ABSTRACT

We construct a pseudo-localization of the 2-category of combinatorial Quillen model categories with respect to Quillen equivalences, and then verify that it embeds in a 2-category of Grothendieck derivators.

研究の動機と目的

• 組合せ的クィルレンモデル圏の2カテゴリとグロテンディークの導来圏の2カテゴリを比較すること。
• クィルレン同値に関して、組合せ的クィルレンモデル圏の2カテゴリの擬局所化を構成すること。
• この擬局所化が右および左随伴を持つ導来圏の2カテゴリに完全かつ忠実に埋め込まれることを証明すること。
• 得られたホモトピー理論の2カテゴリが、組合せ的モデル圏の本質的なホモトピー的不変量を捉えていること。
• ダガーの結果を用いて、点付き、安定、単体的、スプライタルモデル圏に対しても比較を拡張すること。

提案手法

• クィルレン同値を同値に送る擬関手を用いて、組合せ的クィルレンモデル圏の2カテゴリの擬局所化を構成する。
• クィルレンホモトピーを、コフレーヴィエントな対象上で弱同値であるものとして定義するために、モデル圏の2カテゴリにシリンダ対象およびパス対象を導入する。
• ドッジャーの提示定理を適用して、任意の組合せ的モデル圏がある提示可能なものとクィルレン同値であることを示す。
• チシンスキーによるクィルレンモデル圏から導来圏への擬関手の構成を用いて、擬局所化から右／左随伴を持つ導来圏の2カテゴリへの写像を誘導する。
• チシンスキーの導来圏の代表可能性定理を用いて、誘導された擬関手が局所同値であることを証明する。
• この構成の像の本質的性質を特徴付けるために、小さな提示を持つ導来圏の概念を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組合せ的クィルレンモデル圏の2カテゴリをクィルレン同値で局所化することで、整合的なホモトピー理論の2カテゴリが得られるか？
• RQ2 この局所化された2カテゴリが、右および左随伴を持つ導来圏の2カテゴリに完全かつ忠実に埋め込まれるか？
• RQ3 導来圏は、同値の意味で、組合せ的モデル圏のホモトピー的不変量を捉えているか？
• RQ4 モデル圏の2カテゴリにおけるシリンダおよびパス対象は、局所化の下でホモトピーが同型に送られるのをどのように保証するか？
• RQ5 局所化写像の像の本質的像は、導来圏的性質の観点からどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 組合せ的クィルレンホモトピー理論の2カテゴリ $\mathfrak{THQ}^c$ は、組合せ的クィルレンモデル圏の2カテゴリをクィルレン同値で擬局所化することで構成される。
• 擬局所化 $\Gamma: \mathfrak{ModQ}^c \to \mathfrak{THQ}^c$ は普遍性を満たす：任意のクィルレン同値を同値に送る擬関手は、$\Gamma$ を一意に因数分解する。
• この構成により、クィルレンホモトピー（コフレーヴィエントな対象上で弱同値）が $\mathfrak{THQ}^c$ 内で同型に送られ、ホモトピー的不変性が反映される。
• 局所同値 $\mathfrak{THQ}^c \to \mathfrak{Der}_{ad}$ が存在する。ここで $\mathfrak{Der}_{ad}$ は右および左随伴を持つ導来圏の2カテゴリである。
• この同値の本質的像は、小さな提示を持つ導来圏からなる。これは、組合せ的モデル圏から生じる導来圏を特徴付ける。
• ドッジャーの観察を用いて、点付き、安定、単体的、スプライタルモデル圏に対しても結果が拡張され、この枠組みが標準的なホモトピー的文脈において堅牢であることが示された。