[論文レビュー] Theory for Equivariant Quantum Neural Networks

Kate Nguyen, Louis Schatzki+6 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 172被引用数 26

ひとこと要約

本論文は、対称群を尊重する等変量量子ニューラルネットワーク（EQNNs）を設計するための包括的な理論フレームワークを開発し、等変層の構築とパラメータ化（非ユニタリチャネルを含む）を導入し、SU(2)-等変なQCNNを用いた量子位相分類タスクで性能を向上させることを示します。

ABSTRACT

Quantum neural network architectures that have little-to-no inductive biases are known to face trainability and generalization issues. Inspired by a similar problem, recent breakthroughs in machine learning address this challenge by creating models encoding the symmetries of the learning task. This is materialized through the usage of equivariant neural networks whose action commutes with that of the symmetry. In this work, we import these ideas to the quantum realm by presenting a comprehensive theoretical framework to design equivariant quantum neural networks (EQNN) for essentially any relevant symmetry group. We develop multiple methods to construct equivariant layers for EQNNs and analyze their advantages and drawbacks. Our methods can find unitary or general equivariant quantum channels efficiently even when the symmetry group is exponentially large or continuous. As a special implementation, we show how standard quantum convolutional neural networks (QCNN) can be generalized to group-equivariant QCNNs where both the convolution and pooling layers are equivariant to the symmetry group. We then numerically demonstrate the effectiveness of a SU(2)-equivariant QCNN over symmetry-agnostic QCNN on a classification task of phases of matter in the bond-alternating Heisenberg model. Our framework can be readily applied to virtually all areas of quantum machine learning. Lastly, we discuss about how symmetry-informed models such as EQNNs provide hopes to alleviate central challenges such as barren plateaus, poor local minima, and sample complexity.

研究の動機と目的

• 量子機械学習における対称性の役割を特定し、訓練性と一般化能力の向上のために等変モデルの利用を動機づける。
• 任意の関連対称群に対してユニタリおよび非ユニタリチャネルを取り扱う、EQNNの一般的な理論フレームワークを構築する。
• EQNN層の構築とパラメータ化の実践的手法を提供し、それらのトレードオフを分析する。
• 明示的な群共変QCNN（SU(2））を実証し、量子位相分類タスクで対称性に依らない counterparts とベンチマークする。

提案手法

• EQNN層を群表現とその交換子を介した一般化フーリエ空間作用として解釈する。
• 同型分解とChoi表現を用いて等変ユニタリとCPTPチャネルの自由パラメータを数える。
• 3つの構築アプローチを提示: 行列方程式の零空間、群上のtwirling、Choi演算子のパラメータ化。
• 中間表現をハイパーパラメータとして導入し、表現を変更することでアクセスできる情報がどう変わるかを論じる。
• 入力/出力の表現サイズに基づいて等変層を標準、埋め込み、またはプーリングとして分類する。
• QCNNを群共変QCNNへ一般化する方法を実証し、SU(2)-等変 QCNNのアーキテクチャを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実質的に任意の対称群に対して、EQNNを体系的に構築するにはどうすればよいか？
• RQ2 等変チャネルとユニタリの正確なパラメータ数と構造的制約は何か？
• RQ3 中間表現はEQNNの表現力と訓練性にどのように影響するか？
• RQ4 群共変QCNNは量子位相分類タスクで対称性に依らない variants より優れているか？

主な発見

• EQNN層はデータ上の一般化フーリエ変換として作用し、同型分解の多重度空間だけに非自明な作用をもつ。
• (G, Rin, Rout)-等変CPTPチャネルの自由パラメータ数は表現依存の数で与えられ、対称性制約によるパラメータ効率を可能にする。
• 三つの構築的方法（零空間、twirling、Choi表現）は、指数関数的に大きいまたは連続群に対しても等変層の効率的なパラメータ化を可能にする。
• 中間表現（Rin, R1, ..., Rout）はモデルの情報アクセスと処理能力を変えるハイパーパラメータとして機能する。
• SU(2)-等変QCNNは、結合交代ヘイスベルモデルの位相分類タスクで対称性に依らないQCNNより性能向上を示す。