[論文レビュー] Theory of interleavings on categories with a flow

Vin de Silva, Elizabeth Munch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、位相的データ解析における入れ子距離を、[0, ∞) による lax モノイダル作用（＝フロー）を備えた任意の圏へ一般化する。このような圏は自然にLawvere距離空間をなすことが示される。主な貢献は、余圏的 [0, ∞)-同変関手が1リプシッツ写像を誘導する関手的枠組みを提供し、TDAやそれ以上の分野における安定性結果を統一的かつ簡素化することである。これには、恒続モジュール、リーブグラフ、およびハウスドルフ距離やL∞-ノルムといった一般的な距離が含まれる。

ABSTRACT

The interleaving distance was originally defined in the field of Topological Data Analysis (TDA) by Chazal et al. as a metric on the class of persistence modules parametrized over the real line. Bubenik et al. subsequently extended the definition to categories of functors on a poset, the objects in these categories being regarded as `generalized persistence modules'. These metrics typically depend on the choice of a lax semigroup of endomorphisms of the poset. The purpose of the present paper is to develop a more general framework for the notion of interleaving distance using the theory of `actegories'. Specifically, we extend the notion of interleaving distance to arbitrary categories equipped with a flow, i.e. a lax monoidal action by the monoid $[0,\infty)$. In this way, the class of objects in such a category acquires the structure of a Lawvere metric space. Functors that are colax $[0,\infty)$-equivariant yield maps that are $1$-Lipschitz. This leads to concise proofs of various known stability results from TDA, by considering appropriate colax $[0,\infty)$-equivariant functors. Along the way, we show that several common metrics, including the Hausdorff distance and the $L^{\infty}$-norm, can be realized as interleaving distances in this general perspective.

研究の動機と目的

• 実数パラメータによる恒続モジュールを超えて、任意のフローを備えた圏への入れ子距離の拡張。
• actegoryとlax モノイダル作用を用いた、入れ子の定義の統一的圏論的枠組みの提供。
• このような圏が自然にLawvere距離空間の構造を持つことの証明。
• 余圏的 [0, ∞)-同変関手が1リプシッツ写像を誘導することの証明により、安定性定理の一般化。
• 古典的距離（ハウスドルフ距離やL∞-ノルムなど）が、この一般化枠組みにおいて入れ子距離として回復可能であることを示すこと。

提案手法

• [0, ∞) におけるlax モノイダル作用として、フローを備えた圏を形式化するactegory理論を用いる。
• 翻訳関手 Tε を含む自然変換を用いて、元のTDA定義を一般化したε-入れ子を定義する。
• ε-入れ子が存在するようなεの下限として、入れ子距離 d(C,T) を構成する。
• 余圏的 [0, ∞)-同変関手が、入れ子距離空間間の1リプシッツ写像を誘導することを特徴づける。
• B[0, ∞) から CAT へのlax 2関手として、フローを備えた圏を再解釈し、高階圏的視点を可能にする。
• metacategory [0, ∞)-ACT から [0, ∞]-CAT への関手 I を構成し、(C, T) を (C, d(C,T)) に写像し、関手を1リプシッツ写像に写す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数パラメータによる恒続モジュールを超えて、任意のフローを備えた圏へ入れ子距離を一般化できるか？
• RQ2 actegory理論とlax モノイダル作用を用いて、入れ子の概念をどのように形式化できるか？
• RQ3 入れ子距離の圏的構造は何か？ そしてLawvere距離空間とはどのように関係するか？
• RQ4 余圏的 [0, ∞)-同変関手は、常に入れ子距離の下で1リプシッツ写像を誘導するか？
• RQ5 古典的距離（ハウスドルフ距離やL∞-ノルムなど）は、この一般化枠組みにおいて、入れ子距離として回復可能か？

主な発見

• フローを備えた圏 (C, T) における入れ子距離は、Lawvere距離空間 (C, d(C,T)) をなす。
• 余圏的 [0, ∞)-同変関手 H: (C, T) → (D, S) は、入れ子距離空間間の1リプシッツ写像 H: (C, d(C,T)) → (D, d(D,S)) を誘導する。
• 入れ子構成 I は関手的である：余圏的 [0, ∞)-同変関手を1リプシッツ写像に写し、合成と単位を保存する。
• ハウスドルフ距離とL∞-ノルムは、この一般化枠組みにおいて、入れ子距離として実現可能である。
• 恒続モジュールや図式のための安定性定理は、この一般枠組みの特別な場合として導かれる。
• この枠組みはリーブグラフへ一般化可能であり、より単純な対象を介して、それらの入れ子距離に対する上限が得られる。