[論文レビュー] Theory of Non-Degenerated Oscillatory Flows

V. A. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、平均速度と振動速度の大きさが同等である非退化振動流—すなわち、平均値と振動成分の大きさが同程度の流れ—に対して、2時刻法、特徴的な極限、および交換子代数を用いて、体系的な漸近理論を構築する。非退化振動流の平均化方程式を、スカラー、ベクトル的混合物（例：磁場）、渦運動の各々について導出し、レイノルズ応力型の項が、漂流速度、擬似拡散、および追加の平均場項に簡約されることを明らかにする。これらすべての項は、『固定された』テンソル状態からのずれを測る不変なリー微分作用素を用いて表現可能であり、普遍的な構造が存在することが示された。

ABSTRACT

The aim of this paper is to derive the averaged governing equations for non-degenerated oscillatory flows, in which the magnitudes of mean velocity and oscillating velocity are similar. We derive the averaged equations for a scalar passive admixture, for a vectorial passive admixture (magnetic field in kinematic MHD), and for vortex dynamics. The small parameter of our asymptotic theory is the inverse dimensionless frequency $1/σ$. Our mathematical approach combines the two-timing method, distinguished limits, and the use of commutators to simplify calculations. This approach produces recurrent equations for both the averaged and oscillating parts of unknown fields. We do not use any physical or mathematical assumptions (except the most common ones) and present calculations for the first three (zeroth, first, and second) successive approximations. In all our examples the averaged equations exhibit the universal structure: the Reynolds-stress-type terms (or the cross-correlations) are transformed into drift velocities, pseudo-diffusion, and two other terms reminiscent of Moffatt's mean-fields in turbulence. In particular, the averaged motion of a passive scalar admixture is described only by a drift and pseudo-diffusion. The averaged equations for a passive vectorial admixture and for vortex dynamics possess two mean-field terms, additional to pseudo-diffusion. It is remarkable that all mean-field terms (including pseudo-diffusion) are expressed by invariant operators (Lie-derivatives) which measure the deviation of some tensors from their `frozen-in' values. Some physical assumptions and the results can be build upon obtained averaged equations. Our physical interpretation suggests purely kinematic nature of pseudo-diffusion.

研究の動機と目的

• 平均速度と振動速度の大きさが同等である非退化振動流の平均化された支配方程式を導出すること。
• Euler形式の平均化と滑らかな解にのみ依存し、不要な仮定を含まない数学的に厳密で物理的に明確な枠組みを確立すること。
• レイノルズ応力型の項が平均化の下でどのように漂流および擬似拡散に変換されるかを解明し、その運動論的起源を特定すること。
• スカラー、ベクトル的混合物（運動的MHDを含む）および渦運動の3つの異なる問題において、普遍的な構造的特徴を同定すること。
• すべての平均場項（擬似拡散を含む）を、テンソル（例：磁場、渦度）がその『固定された』状態からどれほどずれているかを測る不変なリー微分作用素を用いて表現すること。

提案手法

• 振動周波数の次元なしの量 $\sigma$ を用い、小量 $1/\sigma$ をパラメータとする2時刻漸近法を採用する。
• 高次の項のスケーリングを体系的かつ一貫性を持って制御するため、特徴的な極限を適用する。
• 支配方程式における非線形項の代数的取り扱いを簡略化するために、交換子恒等式を用いる。
• 速度、スカラー、ベクトル場の平均成分および振動成分について、零次、一次、二次の反復方程式を導出する。
• 軌道のカオス的性質による複雑さを回避し、導出プロセスの明確さを保つために、Euler形式の平均化を導入する。
• すべての平均場項を、テンソル（例：磁場、渦度）がその『固定された』状態からどれほどずれているかを測るリー微分作用素を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均速度と振動速度の大きさが同等である場合、振動流におけるレイノルズ応力型の項が平均化の下でどのように変換されるか。
• RQ2 スカラー、ベクトル的および能動的ベクトル場の異なる物理系において、非退化振動流の平均化方程式にどのような普遍的な構造的特徴が現れるか。
• RQ3 擬似拡散および追加の平均場項を、リー微分のような不変な幾何的作用素を用いて表現できるか。
• RQ4 擬似拡散の運動論的起源は何か。また、テンソルがその『固定された』配置からどれほどずれているかとどのように関係するか。
• RQ5 導出された平均化方程式が、地球惑星的、生物学的、および天体的文脈における退化振動流のモデリングの基盤としてどの程度有効に機能するか。

主な発見

• スカラーの平均化運動は、一次近似では単一の漂流速度によって支配され、二次近似では漂流と擬似拡散の組み合わせによって支配される。
• ベクトル的混合物（例：運動的MHDにおける磁場）および渦運動の両方において、平均化方程式には擬似拡散、漂流、およびMoffattの乱流平均場理論に類似した2つの追加の平均場項が含まれる。
• すべての平均場項（擬似拡散を含む）は、テンソルがその『固定された』値からどれほどずれているかを測る不変なリー微分作用素を用いて表現可能である。
• 平均化方程式の構造は、3つの研究対象すべてにおいて普遍的であり、同じ漂流項および擬似拡散項がすべてのケースに共通して現れる。
• 擬似拡散の物理的解釈は純粋に運動論的であり、振動速度勾配の時間平均効果がテンソル輸送に与える影響に起因する。
• 本手法により、複雑なレイノルズ応力型の項が、リー微分作用素を含む閉形式の式に簡約され、平均場効果の幾何学的かつ不変な記述が可能になった。