[論文レビュー] Theory of Perturbations with a Strong Interaction

V. I. Yukalov|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、従来の小パラメータ展開が失敗する強い相互作用を有する統計系に対して、自己無撞着な摂動理論を構築する。観測可能平均に関する自己無撞着条件を用いて最適な試行グリーン関数を導入し、超調和、準調和、擬調和近似を生み出す。これらは非摂動的ポテンシャルからの周波数再正規化を通じて、調和性を正確にまたは高次の精度で取り入れており、分子結晶のフォノンに関する主要な結果が得られる。

ABSTRACT

This is one of the two papers where the optimized perturbation theory was first formulated. The other paper is published in Theor. Math. Phys. 28, 652--660 (1976). The main idea of the theory is to reorganize the perturbative sequence by introducing control functions, defined by optimization conditions, so that the reorganized approximation sequence be convergent. In the present paper, the theory of perturbations is suggested for statistical systems in the absence of small interaction parameters. A new form is advanced for self-consistent conditions defining the optimal parameters for trial Green functions in iterating nonlinear propagator equations. Superharmonic, semiharmonic, and pseudoharmonic approximations for a molecular crystal are considered as examples.

研究の動機と目的

• 相互作用の強さが従来の小パラメータ展開では不十分な統計系のための摂動理論を開発すること。
• 強い相関系において標準的摂動理論が破綻するのを防ぐために、試行グリーン関数に自己無撞着条件を導入すること。
• テイラー展開を用いず、任意の次数まで非調和性を体系的に取り入れる超調和、準調和、擬調和近似を導出すること。
• 平衡および非平衡系に適用可能なフレームワークを提供すること。特に、分子間相互作用が強い分子結晶に特に有効である。

提案手法

• モデル伝搬関数と逆伝搬関数の差から導かれる核を用いて、正確なグリーン関数の非線形ダイソン方程式を定式化する。
• 繰り返し計算における観測可能平均を等しくすることで、自己無撞着条件を導入し、最適な試行パラメータを保証する。
• 平衡系では虚時間におけるフーリエ表現を用い、スペクトル表現を用いて条件を周波数空間に変換する。
• 試行ハミルトニアンの固有状態におけるグリーン関数の展開により、自己無撞着条件を分布関数および周波数シフトを含む行列要素の和に還元する。
• 分子結晶に適用するため、調和的試行グリーン関数を選び、粒子数演算子における自己無撞着条件を用いて周波数補正を導出する。
• 超調和（完全な非摂動的非調和性）、準調和（変位の2次までの展開）、擬調和（座標および変位の両方の展開）の3つの近似を導出し、精度が順次向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなパラメータが存在しない系において、強い相互作用に対して一貫した摂動理論をどのように定式化できるか。
• RQ2 微小結合定数が存在しない状況で、試行グリーン関数のパラメータが最適であることを保証する条件は何か。
• RQ3 最小値まわりのテイラー展開を用いず、自己エネルギーに非調和性を体系的に取り入れる方法は何か。
• RQ4 粒子数やエネルギーといった観測可能量を制約条件として用いる場合、自己無撞着条件の構造はどのようになるか。
• RQ5 超調和、準調和、擬調和近似は、非調和性の取り扱い方および周波数補正の結果において、どのように相違するか。

主な発見

• 超調和近似では、周波数補正が $\omega_0 = \frac{4}{3}(\Phi_0 - u_0)$ で与えられ、$\Phi_0$ は完全な非摂動的ポテンシャルを含むため、すべての次数において正確な非調和性が保証される。
• 準調和近似では、$\omega_0 = \frac{1}{3}\left|2(\Phi_h - u_0) + \sqrt{4(\Phi_h - u_0)^2 + 9\omega_h^2}\right|$ が得られ、$\Phi_h$ および $\omega_h$ はポテンシャルの2次までの展開から導かれる。
• 擬調和近似では、$\omega_0 = \sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ が得られ、ポテンシャルが相対座標にのみ依存する場合に有効であり、対称的ポテンシャルでは $\omega_0 = \omega_1\sqrt{2}$ に簡略化される。
• $n=l=0$ の場合、擬調和近似は $\omega_0 = \sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ に簡略化され、$\omega_1^2$ および $\omega_2^2$ は格子点におけるポテンシャルの2次微分で定義される。
• 粒子数が熱力学的極限で保存されることを保証するため、自己無撞着条件を $N$（全粒子数）で割る。
• 自己無撞着条件 (14) は $\sum_n \mathcal{O}_n n^2(\omega_n) e^{\beta \omega_n} \Delta_{nn} = 0$ に簡略化され、スペクトルシフトと熱的重みのバランスによって最適な試行周波数が決定される。