[論文レビュー] Theory of Quantum Circuits with Abelian Symmetries

Iman Marvian|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

論文は、アーベル全対称性を保持するk局所ゲートによって実現可能な対称ユニタリを分析し、半普遍性を導入し、非アーベルケースと異なる同値性と制約を証明する。

ABSTRACT

Quantum circuits with gates (local unitaries) respecting a global symmetry have broad applications in quantum information science and related fields, such as condensed matter theory and quantum thermodynamics. However, despite their widespread use, fundamental properties of such circuits are not well-understood. Recently, it was found that generic unitaries respecting a global symmetry cannot be realized, even approximately, using gates that respect the same symmetry. This observation raises important open questions: What unitary transformations can be realized with k-local gates that respect a global symmetry? In other words, in the presence of a global symmetry, how does the locality of interactions constrain the possible time evolution of a composite system? In this work, we address these questions for the case of Abelian (commutative) symmetries and develop constructive methods for synthesizing circuits with such symmetries. Remarkably, as a corollary, we find that, while the locality of interactions still imposes additional constraints on realizable unitaries, certain restrictions observed in the case of non-Abelian symmetries do not apply to circuits with Abelian symmetries. For instance, in circuits with a general non-Abelian symmetry such as SU($d$), the unitary realized in a subspace with one irreducible representation (charge) of the symmetry dictates the realized unitaries in multiple other sectors with inequivalent representations of the symmetry. Furthermore, in certain sectors, rather than all unitaries respecting the symmetry, the realizable unitaries are the symplectic or orthogonal subgroups of this group. We prove that none of these restrictions appears in the case of Abelian symmetries. This result suggests that global non-Abelian symmetries may affect the thermalization of quantum systems in ways not possible under Abelian symmetries.

研究の動機と目的

• グローバルなアーベル対称性が複合量子系の時間発展をどのように制約するかを理解する動機付け。
• アーベル対称性の下でk局所対称ゲートによって生成されるユニタリ群を特徴づける。
• アーベル対称性を持つ回路を構成的に合成する方法を開発する。
• アーベル対称性と非アーベル対称性の制約の違いを realizable ユニタリに対して明確にする。

提案手法

• n個のキューディットに対してグローバルG不変表現を持つ対称量子回路を定義する。
• k局所G不変ユニタリがリープロピュラントなルートを形成し、タイプI位相制約を満たす（定理1）。
• 半普遍性を対称代数の半単純部での普遍性として導入する（式4）。
• 半普遍性、追加の保存量なし、チャージセクター間のトランスティリティの等価性を証明する（定理2'と定理2）。
• 単一のアシナキューディットを用いて半普遍性を完全普遍性へ高める構Constructiveメカニズムを提供する（セクションVI）。
• アーベル結果を非アーベルケースと対比し、アーベル群にはタイプIII/IV制約が現れない点を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルなアーベル対称性を尊重するk局所ゲートで実現できるユニタリ変換は何か？
• RQ2 局所性制約はアベラル対称性と非アーベル対称性の量子回路で異なるか？
• RQ3 アーベル対称性の下で、k局所対称ユニタリは半普遍または普遍になり得るか？追加の保存量はそれを制約するか？
• RQ4 アーベル設定でアシナ資源を用いて半普遍性を普遍性に引き上げられるか？
• RQ5 チャージセクター内の基底要素のトランシティビティは realizableユニタリとどのように関連するか？

主な発見

• k局所G不変ユニタリは、アーベルGに対して半普遍であるのは、追加の保存量を持たないことと、総電荷が等しい基底要素間のトランシティビティを満たす場合である（定理2'の同値性）。
• アーベル群でk ≥ 2の場合、共役構造は総対称性ヒルベリ空間が不変ブロックに分解され、それらの部分空間でSU(…)作用を許すとき半普遍性が成り立つ（定理3）。
• アーベルケースでは妨害はタイプI（相対位相制約）とタイプII（追加の保存量）だけであり、ただし保存量なし条件の下でタイプIIは回避できる（定理2）。
• 有限アーベル群はk ≥ min(|G|, 2)で半普遍性を保証する（系論4）。
• アシナ1つでアーベル対称性の半普遍性を普遍性へ高めることができる（セクションVI）。
• 非アーベル対称性は追加のタイプIII/IV制約やセクター間の相互依存性を課すことがあり、アーベルケースとは異なる（IVでの議論）。