[論文レビュー] Theory of Relativistic Brownian Motion: The (1+3)-Dimensional Case

Joern Dunkel, P. Haenggi|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2004

Stochastic processes and financial applications被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特殊相対性理論を満たし、非相対論的極限で通常のブラウン運動に還元される1+1次元における相対論的ランジュバン方程式を構築する。相対論的マクスウェル＝ジュッター速度分布と整合する唯一の形式は、ハンギ・クリモントビッチ解釈（終点離散化）であることが特定され、乗法的ノイズを伴う相対論的拡散の整合的な枠組みが提供される。

ABSTRACT

A theory for (1+3)-dimensional relativistic Brownian motion under the influence of external force fields is put forward. Starting out from a set of relativistically covariant, but multiplicative Langevin equations we describe the relativistic stochastic dynamics of a forced Brownian particle. The corresponding Fokker-Planck equations are studied in the laboratory frame coordinates. In particular, the stochastic integration prescription, i.e. the discretization rule dilemma, is elucidated (pre-point discretization rule {\it vs.} mid-point discretization rule {\it vs.} post-point discretization rule). Remarkably, within our relativistic scheme we find that the post-point rule (or the transport form) yields the only Fokker-Planck dynamics from which the relativistic Maxwell-Boltzmann statistics is recovered as the stationary solution. The relativistic velocity effects become distinctly more pronounced by going from one to three spatial dimensions. Moreover, we present numerical results for the asymptotic mean square displacement of a free relativistic Brownian particle moving in (1+3) dimensions.

研究の動機と目的

• 特殊相対性理論と非相対論的極限と整合するブラウン運動の相対論的理論を構築すること。
• 標準的なブラウン運動と相対論的速さの上限cの間の矛盾、特にガウス分布の速度増分がcを超える問題を解消すること。
• 相対論的マクスウェル＝ジュッター分布を定常解として得る正しい確率的解釈（伊藤、ストラトノビッチ、ハンギ・クリモントビッチ）を特定すること。
• 粘性媒体に存在する乗法的ノイズを伴う相対論的拡散の物理的に整合的なランジュバンおよびフォッカー＝プランク形式を提供すること。
• 今後の研究において1+3次元や外部力場への一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• 相対論的力学と瞬間的静止系の概念を用いて、古典的非相対論的ランジュバン方程式を特殊相対性理論に一般化する。
• 粒子の瞬間的静止系において、摩擦係数νとノイズ振幅Dを導入し、熱浴との相互作用をモデル化する。
• 実験座標系における相対論的ランジュン方程式を導出し、相対論的効果により運動量の増分が粒子の履歴に依存することを示す。
• 位相空間確率密度関数の対応するフォッカー＝プランク方程式を、乗法的ノイズを考慮して定式化する。
• 伊藤、ストラトノビッチ、ハンギ・クリモントビッチの3つの確率的解釈を比較し、それらが導くフォッカー＝プランク方程式と定常解を分析する。
• 伊藤の事前点離散化則に基づく数値シミュレーションを用いて、平均二乗変位と拡散行動を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの確率的解釈が、相対論的マクスウェル＝ジュッター分布を定常解として得るか？
• RQ2 古典的ランジュバン方程式はどのように一般化され、特殊相対性理論と非相対論的極限の両方を満たすか？
• RQ3 離散化則（事前点、中点、終点）が正しい相対論的フォッカー＝プランク方程式を決定する役割は何か？
• RQ4 相対論的領域では、空間的拡散定数が温度にどのように依存するか？非相対論的状態と比較してどう異なるか？
• RQ5 相対論的ランジュバン方程式の数値シミュレーションは、期待される平均二乗変位の時間に対する線形増加を再現できるか？

主な発見

• ハンギ・クリモントビッチ解釈（終点離散化に対応）が、唯一、相対論的マクスウェル＝ジュッター分布を定常解として得る。
• 乗法的ノイズを伴う相対論的ランジュバン方程式は、粘性媒体内を運動する自由なブラウン粒子の相対論的力学を正しく記述する。
• 数値的シミュレーションにより、平均二乗変位が実験時間に対して線形に増加することが確認され、非相対論的状態と類似した振る舞いを示す。
• 相対論的領域では、空間的拡散定数の温度依存性が非相対論的状態の単純な比例関係から逸脱し、より複雑になる。
• ハンギ・クリモントビッチ解釈から導かれるフォッカー＝プランク方程式は、相対論的運動論およびジュッター分布と整合する。
• 本フレームワークは、1+3次元や外部力場を含む系への相対論的ブラウン運動の一般化の物理的に整合した基盤を提供する。