[論文レビュー] Theory of The Generalized Bernoulli-Hurwitz Numbers for The Algebraic Functions of Cyclotomic Type and The Universal Bernoulli Numbers

Yoshihiro Ônishi|ArXiv.org|Jun 6, 2004

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、 genus g ≥ 1 のハイパーオービック曲線上の巡回型代数関数に対して、古典的ベルヌーイ数およびハーウィッツ数を拡張した一般化されたベルヌーイ＝ハーウィッツ数を導入する。ユニバーサルベルヌーイ数を用いて、カルツィングの方法によるべき級数比較と形式群論を応用し、ヴァン・ストーク-クローデン、ヴァン・ストーク第二、およびクンマー合同式の類似定理を確立する。特に、特殊な曲線に対して明示的な合同式結果と L 関数に類似した恒等式が得られる。

ABSTRACT

Hurwitz numbers are the Laurent coefficients of an elliptic function $\wp(u)$ of cyclotomic type, and they are natural generalization of the Bernoulli numbers. This paper gives new generalization of Bernoulli and Hurwitz numbers for higher genus cases. They satisfy completely von Staudt-Clausen type theorem, an extension of von Staudt second theorem, and Kummer type congruence relation. The present paper is revised and combined version of math.NT/0304377 and math.NT/0312178 containing many numerical examples.

研究の動機と目的

• 巡回型ハイパーオービック曲線の高 genus における古典的ベルヌーイ数およびハーウィッツ数の拡張。
• 一般化ベルヌーイ＝ハーウィッツ数に対して、ヴァン・ストーク-クローデン、ヴァン・ストーク第二、およびクンマー合同式の類似定理を確立する。
• 一般化された数の性質を特殊化によって導出するための統一的枠組みとして、ユニバーサルベルヌーイ数を導入する。
• ユニバーサルベルヌーイ数に対するクンマー型合同式を証明し、カルツィングの方法を用いて一般化された数への特殊化を検証する。
• 曲線 y² = x²ᵍ⁺¹ − 1 および y² = x²ᵍ⁺¹ − x のような特殊な L 関数と除数和の関係を調査する。

提案手法

• ハイパーオービック曲線 C: y² = x²ᵍ⁺¹ − 1 または y² = x²ᵍ⁺¹ − x のヤコビアン上での u = 0 の近傍における逆関数 x(u) のローレン卜係数として、一般化ベルヌーイ＝ハーウィッツ数を定義する。
• アーベル＝ジャコビ写像を用いて、曲線を g 次元複素トーラス Cᵍ/Λ に持ち上げ、u = (u₁,…,uᵍ) を局所座標とする。
• カルツィングのべき級数比較法を応用し、形式群の構造を活用してクンマー型合同式を導出する。
• ユニバーサル形式群に関連するユニバーサルベルヌーイ数を導入し、これが一般化ベルヌーイ＝ハーウィッツ数に特殊化されることを示す。
• クラークの定理をユニバーサルベルヌーイ数に適用し、一般化されたヴァン・ストーク型定理を証明するための統一的ツールとする。
• ユニバーサルベルヌーイ数に対する新しいクンマー型合同式（定理 3.1.1）を証明し、後に安田による命題 3.2.1(2) の証明で確認された。その後、一般化された場合に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ベルヌーイ＝ハーウィッツ数は、古典的ベルヌーイ数に類似したヴァン・ストーク-クローデン型定理を満たすか？
• RQ2 これらの数に対して、古典的結果を拡張した一般化されたヴァン・ストーク第二定理を確立できるか？
• RQ3 クンマー型合同式は一般化ベルヌーイ＝ハーウィッツ数に対して成り立ち、ユニバーサルベルヌーイ数の合同式から導出可能か？
• RQ4 y² = x²ᵍ⁺¹ − 1 のような特殊な曲線に対して、ゼータ関数に類似した除数和の L 関数類似恒等式が存在するか？
• RQ5 曲線 y³ = x⁵ − 1 のようなものに対して、一般化数 Cₙ および Dₙ の p-進付値（特に 2-進付値）はいかなるか？

主な発見

• 一般化ベルヌーイ＝ハーウィッツ数はヴァン・ストーク-クローデン型定理を満たす（定理 6.1.1）。ここで、分母の和の素数を法とした値が、特定の p-進条件を満たす。
• 一般化されたヴァン・ストーク第二定理が確立された（定理 6.2.1）。これは、ベルヌーイ数の p-進付値に関する古典的結果を拡張する。
• ユニバーサルベルヌーイ数に対してクンマー型合同式が証明された（定理 3.1.1）。これは最良のモジュラス推定を与える。この結果は安田による命題 3.2.1(2) の証明で裏付けられた。
• 一般化ベルヌーイ＝ハーウィッツ数は、ユニバーサルベルヌーイ数の特殊化により、すべての性質（特にクンマー合同式）を引き継ぐ。その結果、一般化数に対しても同様の性質が成立する。
• 曲線 y² = x²ᵍ⁺¹ − 1 に対して、非ゼロ格子点 λ ∈ L に対する和 ∑* 1/λ²⁽²ᵍ⁺¹⁾ⁿ は、Ω²⁽²ᵍ⁺¹⁾ⁿ / (2(2g+1)n)! × C₂⁽²ᵍ⁺¹⁾ⁿ に等しい。ここで Ω は実周期積分、Cₙ は一般化数である。
• 曲線 y² = x²ᵍ⁺¹ − x に対して、和 ∑* λ⁻⁴ᵍⁿ = Ω⁴ᵍⁿ / (4gn)! × C₄ᵍⁿ が成り立ち、これはヘッケ L 関数とは異なる新しい L 関数類似恒等式を示唆する。