[論文レビュー] Theory of transformation for the diagonalization of quadratic Hamiltonians

Ming-wen Xiao|ArXiv.org|Aug 6, 2009

Matrix Theory and Algorithms参考文献 16被引用数 34

ひとこと要約

本論文は、第二量子化における二次ハミルトニアンの対角化のための統一的理論を提示し、対角化可能性を系のダイナミクス行列の固有値問題として定式化する。対角化が存在するか、一意的であるかを体系的かつ操作的に判定する手順を提供し、変換の構成法も示す。ボーズおよびフェルミ系の両方に対して完全な解決を提供する。量子場（クライン=ゴルドン場、フォノン場など）への応用も含む。

ABSTRACT

A theory of transformation is presented for the diagonalization of a Hamiltonian that is quadratic in creation and annihilation operators or in coordinates and momenta. It is the systemization and theorization of Dirac and Bogoliubov-Valatin transformations, and thus provides us an operational procedure to answer, in a direct manner, the questions as to whether a quadratic Hamiltonian is diagonalizable, whether the diagonalization is unique, and how the transformation can be constructed if the diagonalization exists. The underlying idea is to consider the dynamic matrix. Each quadratic Hamiltonian has a dynamic matrix of its own. The eigenvalue problem of the dynamic matrix determines the diagonalizability of the quadratic Hamiltonian completely. In brief, the theory ascribes the diagonalization of a quadratic Hamiltonian to the eigenvalue problem of its dynamic matrix, which is familiar to all of us. That makes it much easy to use. Applications to various physical systems are discussed, with especial emphasis on the quantum fields, such as Klein-Gordon field, phonon field, etc..

研究の動機と目的

• 二次ハミルトニアンの対角化のための体系的かつ一般化された理論を、ディラック変換およびボゴリューボフ＝バラチン変換を統合的に統合すること。
• 根本的な問いに答えること：二次ハミルトニアンは線形変換によって対角化可能か。その対角化は一意的か。変換の構成法は何か。
• ボソン系およびフェルミオン系の両方に適用可能な統一的枠組みを提供すること。
• 対角化が可能となる数学的および物理的条件を明確にすること。特にフェルミオン系とボソン系の違いを明確にすること。
• クライン=ゴルドン場、フォノン場、ディラック場などの物理系への応用を通じて、理論の有効性を示すこと。

提案手法

• ハミルトニアン H から動的行列 M を定義する。これはハイゼンベルク方程式の運動と、生成・消滅演算子の交換関係・反交換関係に基づく。
• ハミルトニアンを H = ½ψ†Mψ ± ½tr(α) の形に表現する。ここで ψ は消滅演算子と生成演算子の合成ベクトルである。
• H の対角化可能性が、M の物理的対角化可能性に等しいことを示す。M は常にエルミートで、特定の対称性制約を満たす必要がある。
• M の固有値問題を用いて、H を対角化する変換行列 A と B を構成する。M の正規直交固有ベクトルが、新しい準粒子演算子の基底を形成する。
• フェルミオン系とボソン系を区別する：フェルミオン系では常に対角化可能で一意的であるが、ボソン系では動的行列 M が物理的に対角化可能でなければならない。
• 本手法を、ボソンおよびフェルミオン系の通常およびペアリングハミルトニアン、およびクライン=ゴルドン場やマクスウェル場などの量子場に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、生成・消滅演算子の線形変換によって二次ハミルトニアンが対角化可能か。
• RQ2 二次ハミルトニアンの対角化は一意的か。その一意性は何かによって決まるか。
• RQ3 与えられた二次ハミルトニアンを対角化する変換を体系的に構成する方法は何か。
• RQ4 動的行列が二次ハミルトニアンの対角化可能性をどのように決定するか。
• RQ5 本理論は、クライン=ゴルドン場やフォノン場などの量子場理論にどのように適用できるか。

主な発見

• 二次ハミルトニアンの対角化は、常にその動的行列 M の固有値問題によって完全に決定される。M は常にエルミートで、特定の対称性を満たす。
• フェルミオン系では、動的行列は常に物理的に対角化可能であり、ハミルトニアンの対角化は常に存在し、一意的である。
• ボソン系では、動的行列が物理的に対角化可能である場合にのみ対角化が可能であり、これは保証されず、個々のケースで確認する必要がある。
• 対角化に必要な変換行列 A と B は、動的行列 M の正規直交固有ベクトルから直接構成される。
• 理論はクライン=ゴルドン場およびフォノン場を正しく対角化し、正負のエネルギーモードを持つ標準的な準粒子表現を導く。
• ローレンツゲージにおけるマクスウェル場は、運動量空間のほとんど至るところで対角化可能であるが、物理的でない自由度と混合した交換関係を扱う必要がある。この問題は、理論によって自然に解決される。