[論文レビュー] Theory of Truncation Resonances in Continuum Rod-based Phononic Crystals with Generally Asymmetric Unit Cells

Hasan B. Al Ba’ba’a, Carson L. Willey+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2022

Acoustic Wave Phenomena Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非対称な単位胞を有する有限で連続的なロッド型フォノニック結晶における切り捨て共鳴の予測と調整を可能にする、伝達行列法を用いた解析的フレームワークを提示する。境界条件と単位胞の対称性が、バンドギャップ内に局在する振動（切り捨て共鳴）を生じることを確立し、閉形式の解が示すところでは、自由-自由および固定-固定系では1バンドギャップあたり最大1つの共鳴が存在するが、固定-自由／自由-固定系では最大2つの共鳴が存在しうることを示している。これらはすべて、対称性パラメータδおよび物性対比αとβを用いて制御可能である。

ABSTRACT

Phononic crystals exhibit Bragg bandgaps, frequency regions within which wave propagation is forbidden. In solid continua, bandgaps are the outcome of destructive interferences resulting from periodically alternating layers. Under certain conditions, natural frequencies emerge within these bandgaps in the form of high-amplitude localized vibrations near a structural boundary, referred to as truncation resonances. In this paper, we investigate the vibrational spectrum of finite phononic crystals which take the form of a one-dimensional rod, and explain the factors that contribute to the origination of truncation resonances. By identifying a unit cell symmetry parameter, we define a family of finite phononic rods which share the same dispersion relation, yet distinct truncated forms. A transfer matrix method is utilized to derive closed-form expressions of the characteristic equations governing the natural frequencies of the finite system and decipher the truncation resonances emerging across different boundary conditions. The analysis establishes concrete connections between the localized vibrations associated with a truncation resonance, boundary conditions, and the overall configuration of the truncated chain as dictated by unit cell choice. The study provides tools to predict, tune, and selectively design truncation resonances, to meet the demands of various applications that require and uniquely benefit from such truncation resonances.

研究の動機と目的

• 非対称な単位胞を有する有限で連続的なロッド型フォノニック結晶における切り捨て共鳴の発生原因を理解すること。
• これらの共鳴の出現および局在に寄与する構造的・物性的パラメータを同定すること。
• 無限系に適用可能なブロッホ波理論を超える予測的解析モデルを構築すること。
• 境界条件、単位胞の対称性、および切り捨て共鳴の数と周波数との間の関係を確立すること。

提案手法

• 有限フォノニックロッド内の固有振動数を記述する特徴方程式を導出するため、伝達行列法（TMM）を用いる。
• 同一の分散関係を有するが異なる境界条件を持つ切り捨てられたロッドの族を生成するために、単位胞の対称性パラメータδを定義する。
• 切り捨て共鳴を支配する周波数応答関数および特徴方程式の閉形式表現を導出する。
• 半無限フォノニック結晶の構成を用いて、異なる境界条件下で切り捨て共鳴が共存することを解析的に証明する。
• 単位胞の特性をパラメータ化するため、周波数対比αおよびインピーダンス対比βを導入し、それらが共鳴挙動に与える影響を分析する。
• 超越方程式（式50および51）を解くことにより、共鳴の発生および自由-自由と固定-固定系の間の交差周波数を予測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称な単位胞を有する有限フォノニックロッドにおける切り捨て共鳴の存在と数を決定するのは何であるか？
• RQ2 境界条件（自由-自由、固定-固定、固定-自由、自由-固定）は、切り捨て共鳴の周波数および局在にどのように影響を与えるか？
• RQ3 単位胞の対称性パラメータδは、切り捨て共鳴周波数およびパターンの調整に果たす役割は何か？
• RQ4 周波数対比αおよびインピーダンス対比βは、切り捨て共鳴の振動挙動および振幅にどのように影響を与えるか？
• RQ5 異なる境界条件下の切り捨て共鳴は、統一されたフレームワークを用いて解析的に結びつけることができるか？

主な発見

• 自由-自由および固定-固定の配置における切り捨て共鳴は、同一の境界条件下における単位胞の固有振動数と完全に一致し、単位胞設計による直接的な調整が可能である。
• 非対称な単位胞（δ ≠ 0）では、すべての標準的境界条件下で切り捨て共鳴が発生しうり、自由-自由および固定-固定系では1バンドギャップあたり最大1つの共鳴が存在する。
• 固定-自由および自由-固定の配置では、δ、α、βに依存して、1バンドギャップあたり最大2つの切り捨て共鳴が発生しうる。
• δに対する切り捨て共鳴曲線の振動挙動は、式（51）の最初の解によって支配され、αがより負方になるほど振動周波数が低下する。
• 共鳴の振幅フラクチュエーションの上限はバンドギャップ幅に規定され、インピーダンス対比βに強く依存するが、振動周波数はβに依存しない。
• βの符号は、自由-自由と固定-固定の共鳴曲線を入れ替えるにとどまり、支配方程式の対称性により全体的な共鳴挙動に影響を及ぼさない。