[論文レビュー] Theory of Zipf's Law and of General Power Law Distributions with Gibrat's law of Proportional Growth

А. И. Саичев, Yannick Malevergne+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2008

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Zipfの法則と比例成長のGibratの法則を統一的な理論的枠組みで結びつけるものであり、成長と死のプロセスが確率的に釣り合いをなす場合に、企業規模のパワー則分布が出現することを示している。主な結果は、Zipfの法則が成り立つのは、成長、死、出生のメカニズムが平均的に相殺される一般化されたバランス条件が満たされる場合に限ることである。この条件は、経済圏をまたがるパワー則スケーリングの普遍性と逸脱を説明する。

ABSTRACT

We summarize a book under publication with his title written by the three present authors, on the theory of Zipf's law, and more generally of power laws, driven by the mechanism of proportional growth. The preprint is available upon request from the authors. For clarity, consistence of language and conciseness, we discuss the origin and conditions of the validity of Zipf's law using the terminology of firms' asset values. We use firms at the entities whose size distributions are to be explained. It should be noted, however, that most of the relations discussed in this book, especially the intimate connection between Zipf's and Gilbrat's laws, underlie Zipf's law in diverse scientific areas. The same models and variations thereof can be straightforwardly applied to any of the other domains of application.

研究の動機と目的

• Gibratの比例成長の法則を用いて、企業規模分布におけるZipfの法則の一般的な理論的基盤を確立すること。
• 企業の確率的新生、死、成長ダイナミクスが、企業規模におけるパワー則スケーリングをどのように統合的に生み出すかを調査すること。
• Zipfの法則が出現する正確なバランス条件を特定すること。この条件は、Gibratの法則が正確に満たされていなくても成立する。
• 異なる経済環境における成長、死、出生率の不均衡を分析することで、Zipfの法則からの逸脱を説明すること。
• 時間変動する出生率、突然の企業退出、合併・スピンオフを含むモデルの拡張を行い、企業規模ダイナミクスの包括的枠組みを提供すること。

提案手法

• 企業資産の確率的比例成長を記述するため、幾何 Browmian 動的（GBM）を用いて連続的Gibratの法則を形式化すること。
• GBM下での企業規模の定常分布を導出し、バランス条件が満たされる場合にパワー則（指数m=1、すなわちZipfの法則）に至ることを示すこと。
• すべての成長および減少メカニズム（新生、死、ドリフト、ボラティリティ）の和が平均的にゼロとなる一般化されたバランス条件を導入すること。
• 時間変動するレートを持つポアソン過程として企業新生をモデル化し、資本制約やショックによる段階的・突然の企業退出を組み込むこと。
• 統合微分方程式を用いて、企業規模ダイナミクスとM&Aやスピンオフなどのマクロレベルプロセスとの結合を記述すること。
• 統合的および断片的プロセスを数学的に整合的にモデル化するため、統計物理学の技術（凝集および破壊プロセス）を適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gibratの比例成長の法則が、企業規模分布においていつZipfの法則を生じるのか。
• RQ2 企業の確率的新生と死が、企業規模におけるパワー則スケーリングの出現とロバストネスにどのように寄与するか。
• RQ3 成長、死、新生メカニズムが平均的に相殺されるバランス条件がZipfの法則を保証する役割を果たす理由は何か。
• RQ4 企業規模に依存するボラティリティやドリフトといったGibratの法則からの逸脱が、企業規模分布のテール指数にどのように影響するか。
• RQ5 突然の企業退出や時間変動する出生率が、実証データにおける純粋なZipfの法則からの観察された逸脱をどの程度説明できるか。

主な発見

• 企業規模のZipfの法則は、成長、死、新生メカニズムのすべての効果が平均的にゼロとなる一般化されたバランス条件が満たされる場合に限り成立する。
• Gibratの法則が厳密に満たされていなくても、ボラティリティが企業規模に比例して増加し、瞬間的成長率がボラティリティを上回らない限り、Zipfの法則は依然として成立する。
• 企業規模のパワー則分布のテール指数は、平均成長率、企業新生率、突然の死のハザードレートに直接依存しており、標準的指数m=1からの逸脱は、バランスの不均衡を示している。
• 企業の死（段階的または突然のもの）は、バランス条件が維持されていればZipfの法則を破壊しないが、死のプロセスが適切にキャリブレーションされていなければテール指数を変化させる可能性がある。
• バランス条件が破られている経済では、観察されるパワー則指数がm=1から逸脱することをモデルが予測しており、構造的不均衡を特定するための診断ツールを提供する。
• 統合微分方程式による合併・スピンオフの組み込みにより、より現実的な経済ダイナミクスを反映する枠組みが拡張され、企業規模進化の包括的理論への道筋が示唆される。