[論文レビュー] There are More Than 2**(n/17) n-Letter Ternary Square-Free Words

Doron Zeilberger|ArXiv.org|Sep 23, 1998

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、n文字の三進平方自由語の数が 2^(n/17) を超えることを証明し、三進平方自由語の接続定数に対する新たな下界を確立した。ドノン・ジルバーグァーは、ブリンクイースとブランドンブルクの既存の下界を改善するため、洗練された組合せ的構成を用い、1983年以来初めての顕著な進展を示し、以前に知られていたものよりも高い基数を用いた指数的成長を示した。

ABSTRACT

We prove that the `connective constant' for ternary square-free words is at least $2^{1/17} = 1.0416 ... $, improving on Brinkhuis and Brandenburg's lower bounds of $2^{1/24}=1.0293 ...$ and $2^{1/22}=1.032 ...$ respectively. This is the first improvement since 1983.

研究の動機と目的

• n文字の三進平方自由語の数に対するより強い下界を確立すること。
• ブリンクイースとブランドンブルクが提示した接続定数の推定値を改善すること。
• 組合せ論的語の分野における長年の未解決問題を、よりきつい指数的下界を提供することで解決すること。
• 三進平方自由語の増加率が1文字あたり 2^(1/17) を超えることを示すこと。

提案手法

• 著者は、大きな数の三進平方自由語を生成する構成的技法を用いる。
• 特定の置換システムを設計し、平方自由性を保ちながら語の数を最大化する。
• 再帰的数え上げ技法を用いて構成を分析し、有効な語の数を評価する。
• 三進アルファベットにおける平方自由語の構造的性質を特定し、それらを活用する。
• 組合せ的議論を用いて、このような語の数が少なくとも 2^(n/17) の速度で増加することを示す。
• 禁止された平方パターンを避ける再帰的置換規則の新規応用によって結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n文字の三進平方自由語の数に対する最良の可能な下界は何か？
• RQ2 三進平方自由語の接続定数は、以前の推定値を超えて改善可能か？
• RQ3 大きなnに対して、2^(n/24) よりも多くの語を生成する構成的技法は存在するか？
• RQ4 三進平方自由語の増加率に対して、2^(1/22) よりも高い指数的基数は存在するか？
• RQ5 1983年当時の下界を超える新しい組合せ的構成は可能か？

主な発見

• n文字の三進平方自由語の数は 2^(n/17) を超える。これは新たな下界を確立する。
• 三進平方自由語の接続定数は少なくとも 2^(1/17) ≈ 1.0416 である。
• この結果は、ブリンクイースの下界 2^(1/24) ≈ 1.0293 とブランドンブルクの下界 2^(1/22) ≈ 1.032 を上回る。
• この改善は、1983年以来のこの問題における最初の進展である。
• 構成法により、このような語の増加率が以前に確立されたものよりも顕著に高いことが示された。
• この方法により、指数的増加を示す大きな家族の平方自由語を明示的かつ具体的に生成する手段が得られた。