[論文レビュー] There are no rigid filiform Lie algebras of low dimension

Paulo Tirao, Sonia Vera|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、9次元、10次元、11次元の複素数上の剛性を持つフィルフォームリー代数が存在しないことを、フィルフォームリー代数の多様体のザリスキ稠密な開部分集合において、すべてのそれらの代数に対して非自明な線形変形を構成することによって証明している。この手法は、余次元2のイデアルにおける適合する自己準同型から特定の2コサイクルを導出し、得られた変形された代数が元の代数と同型でないことを示すことにより、リー代数全体の多様体およびフィルフォームリー代数の部分多様体の両方において非剛性を示すものである。

ABSTRACT

We prove that there are no rigid complex filiform Lie algebras in the variety of (filiform) Lie algebras of dimension less than or equal to 11. More precisely we show that in any Euclidean neighborhood of a filiform Lie bracket (of low dimension), there is a non-isomorphic filiform Lie bracket. This follows by constructing non trivial linear deformations in a Zariski open dense set of the variety of filiform Lie algebras of dimension 9, 10 and 11. (In lower dimensions this is well known.)

研究の動機と目的

• 低次元における剛性を持つフィルフォームリー代数の存在問題を解消すること、特に9次元、10次元、11次元について。
• ヴァルジュの予想（剛性を持つべき-nilpotentリー代数は存在しない）を、特にフィルフォームリーの場合に拡張すること。
• フィルフォームリー代数がリー代数全体の多様体においてだけでなく、フィルフォームリー代数の部分多様体においても非剛性であることを示すこと。
• 余次元2のイデアルにおける自己準同型を用いた、フィルフォームリー代数の非自明な変形を構成的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• 基底ベクトル空間における余次元2のイデアル h に作用する自己準同型 D から導かれる2コサイクル φ を用いて、フィルフォームリー代数 μ の線形変形 μₜ = μ + tφ を構成する。
• 変形 φ_D を、φ_D(x₀,x₁)=0、φ_D(x₁,h)=D(h)、および h,h'∈h に対して φ_D(h,h')=0 と定義することで、φ_D が μ に関してリー代数的かつ2コサイクルであることを保証する。
• 適切な基底における同型性方程式の明示的解析により、t≠0 に対して μₜ が μ と同型でないことを示し、変形が非自明であることを検証する。
• Fⁿ (n=9,10,11) の既約成分の構造を用いて、構成された変形集合がザリスキ稠密であることを示し、したがってユークリッド的にも稠密であることを保証することで、結果が大域的に成り立つことを示す。
• 既知の適切な基底によるパrametrization を活用して、変形が非自明である特定の開集合 Uⁿ ⊆ Fⁿ に対してこの手法を適用する。
• 構造定数における係数比較を用いて、μ と μₜ の間に同型が存在すると仮定した場合の矛盾を導出し、非同型性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数体上、9次元、10次元、11次元のフィルフォームリー代数に剛性を持つものはあるか？
• RQ2 低次元におけるすべてのフィルフォームリー代数に対して、非自明な線形変形を体系的に構成できるか？
• RQ3 9～11次元におけるフィルフォームリー代数の非剛性は、リー代数全体の多様体およびフィルフォームリー代数の部分多様体においても成立するか？
• RQ4 8次元以下のフィルフォームリー代数における非剛性の欠如が、9～11次元に拡張されるか、その場合、どのようなメカニズムによって成立するか？
• RQ5 余次元2のイデアルにおける適合する自己準同型に基づく変形法を一般化し、すべてのフィルフォームリー代数の非剛性を証明できるか？

主な発見

• 9次元、10次元、11次元における複素数上のフィルフォームリー代数に剛性を持つものは存在しない。これは、それぞれの多様体におけるザリスキ稠密な開部分集合において、すべてのそれらの代数に対して非自明な線形変形を構成することによって証明された。
• 9次元、10次元、11次元の各フィルフォームリー代数 μ に対して、t≠0 であるような変形 μₜ = μ + tφ が存在し、μₜ が μ と同型でないことが確認された。これにより非剛性が裏付けられた。
• F⁹ における開集合 U⁹ ⊆ F⁹、F¹⁰ における U¹⁰ ⊆ F¹⁰、F¹¹ における U¹¹ ⊆ F¹¹ は、それぞれの多様体においてザリスキ稠密である。これは、すべての既約成分と非自明に交わっていることから示される。
• 8次元では、同じ変形法（D=D³ を用いる）により非同型の変形が得られ、F⁸ における非剛性が証明された。これは、高次元で用いられる重要な命題が成立しないにもかかわらず成立する。
• 7次元では、この手法がうまく機能し、すべてのフィルフォームリー代数が非自明なフィルフォームリー変形をもつことが示された。これにより、F⁷ における非剛性が確認された。
• この結果により、フィルフォームリー代数がリー代数全体の多様体においてだけでなく、フィルフォームリー代数の部分多様体においても非剛性であることが確認された。これは、このクラスにおけるヴァルジュの予想を支持するものである。