[論文レビュー] There are no stable points for continuum-wise expansive homeomorphisms

Jana Rodriguez Hertz|ArXiv.org|Aug 13, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、局所的に連結なコンパクトな距離空間上の連続的拡張的ホメオモルフィズムが安定点をもたず、局所安定集合および局所不安定集合に非自明な連結成分を有することを確立する。局所的連結性と拡張性に根ざした位相的および距離的技法を用いて、著者らはこれらの集合の連結成分の直径が一様にゼロから離れていることを証明する。この結果は、このような力学系の分類定理を強化するものである。

ABSTRACT

We obtain some results about continuum-wise expansive homeomorphisms, such as non-existence of stable points and presence of non-trivial connected components within the local stable and unstable sets. These facts have been of importance in theorems of classification of expansive homeomorphisms. They are achieved now, however, by new and self contained techniques that hold on more general settings.

研究の動機と目的

• 局所的に連結なコンパクトな距離空間上の連続的拡張的ホメオモルフィズムに対して安定点が存在しないことを確立すること。
• 局所安定集合および局所不安定集合が一様に正の直径を有する非自明な連結成分を含むことを示すこと。
• 高度な微分的またはエルゴード的道具に依存しない自己完結的な位相的証明を提供すること。
• 局所的連結性が安定／不安定集合の構造において果たす役割を明確にし、それが結果の成立に不可欠であることを示すこと。
• 一般のコンパクト集合上で反例を構成し、主定理の成立にための局所的連結性の必要性を示すこと。

提案手法

• 各点の\varepsilon-局所安定集合および局所不安定集合を、すべての前向きまたは後向き反復において軌道が\varepsilon-内に留まる閉集合として定義する。
• これらの集合内の連結成分、特に$ CW^{ ho}_{ ho}(x) $を用いて、その位相的サイズを分析する。
• 局所的連結性を用いて、球の境界点が安定集合の境界に写ることを保証し、距離の制御を維持する。
• ハウスドルフ位相を用いて、コンパクト集合の列から極限コンパクト集合を抽出し、一様な直径の下界を保証する。
• 直径が小さいと仮定して背理法を用い、全軌道の直径が拡張性定数によって有界であるようなコンパクト集合を構成する。
• 一様な拡張性定数$ \alpha > 0 $の存在を活用し、連結成分が小さくなりすぎると矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的に連結なコンパクトな距離空間上の連続的拡張的ホメオモルフィズムに対して、安定点が存在しうるか？
• RQ2 任意の$ \varepsilon > 0 $に対して、$ \inf_{x \in X'} \text{diam}(CW^s_\varepsilon(x)) \geq \delta $を満たす$ \delta > 0 $が存在するか？ また、不安定集合に対しても同様に成り立つか？
• RQ3 局所的連結性は、安定／不安定集合における連結成分の非自明性にとって必須の条件か？
• RQ4 安定点が存在しない場合でも、一般のコンパクト集合上では結果が成立しないことがあるか？
• RQ5 安定／不安定集合の連結成分の直径に一様な下界を示すために、どのような位相的条件が本質的か？

主な発見

• 局所的に連結なコンパクトな距離空間上の連続的拡張的ホメオモルフィズムに対しては、安定点は存在しない。
• 任意の$ \varepsilon > 0 $に対して、$ \delta > 0 $が存在し、$ \inf_{x \in X'} \text{diam}(CW^s_\varepsilon(x)) \geq \delta $が成り立ち、不安定集合に対しても同様である。
• 各蓄積点における局所安定集合および局所不安定集合の連結成分は、直径において一様にゼロから離れている。
• 一般のコンパクト集合上では結果が成り立たない。第3節の反例では、安定点が存在しないが、局所集合は自明である。
• 安定／不安定集合に非自明な連結成分が存在することは、安定点の非存在だけでは保証されない。
• 証明は、球の境界点が安定集合の境界上に写ることを保証する局所的連結性に強く依存しており、これにより距離の制御が可能になる。