[論文レビュー] There are Significantly More Nonnegative Polynomials than Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2003

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、固定された偶数次の $2k \geq 4$ に対して、$n \to \infty$ のとき、非負の同次多項式の数は、平方和の数を著しく上回ることを示している。非負多項式の錐と平方和の錐のコン pact な基底の体積比を、$r^{2k}$ に直交する $2k$ 次形式の空間において考察し、その体積比を空間の次元の逆数乗した形で評価することで、体積比の指数部分が $n^{(k-1)/2}$ のオーダーで増大することを証明している。これにより、高次元において平方和は漸近的に無視できることが示された。

ABSTRACT

We investigate the quantitative relationship between nonnegative polynomials and sums of squares of polynomials. We show that if the degree is fixed and the number of variables grows then there are significantly more nonnegative polynomials than sums of squares. More specifically, we take compact bases of the cone of nonnegative polynomials and the cone of sums of squares and derive bounds for the volumes of the bases. If the degree is greater than 2 then we show that the ratio of the volumes of the bases, raised to the power reciprocal to the ambient dimension, tends to 0 as the number of variables tends to infinity.

研究の動機と目的

• 非負多項式が平方和よりも著しく多く存在するかどうかを定量的に解明すること：非負多項式の錐と平方和の錐の相対的サイズを高次元空間において定量化すること。
• 変数の数 $n$ が大きく、次数 $2k$ が固定されているとき、平方和が非負多項式の定数割合を占めないことを示すこと。
• 同次多項式空間 $P_{n,2k}$ における非負多項式の錐と平方和の錐のコン pact な基底の体積に対する漸近的タイトな推定値を提供すること。

提案手法

• 非負多項式の錐と平方和の錐の各々の断面として、$r^{2k} = (x_1^2 + \cdots + x_n^2)^k$ による平行移動によって得られるコン pact 凸体 $\widetilde{C}$ と $\widetilde{Sq}$ を定義する。
• 球面上の積分 $\langle f,g \rangle = \int_{S^{n-1}} fg \, d\sigma$ と $L^p$ ノルムを用いて、球面上積分がゼロである $2k$ 次形式の空間 $M_{n,2k}$ に幾何的構造を定義する。
• ゲージ関数 $G_C(f) = |\min_{v \in S^{n-1}} f(v)|$ と極座標積分を用いて、$\widetilde{C}$ の体積に対する下界を確立する。
• 双対ノルム $||f||_{sq} = \max_{g \in S_{P_{n,k}}} |\langle f, g^2 \rangle|$ を用いて、平均幅 $W_{\widetilde{Sq}}$ を評価し、ホルダーの不等式とバルヴィノクの不等式を適用することで、$\widetilde{Sq}$ の体積に対する上界を導出する。
• 関数解析の結果、特に $||g^2||_2 \leq 4^{2k}$ を与えるデイナインコエフの不等式とガンマ関数の漸近挙動を用いて、二次形式 $H_f(g) = \langle f, g^2 \rangle$ の $L^{2D_{n,k}}$ ノルムを評価する。
• ユリソフの不等式を用いて体積比と平均幅を関連付け、最終的な体積評価を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元空間において、非負多項式は平方和よりも著しく多く存在するか？
• RQ2 変数の数 $n$ が増加する際、非負多項式の錐内における平方和の錐の相対体積はどのように漸近するか？
• RQ3 固定された $k \geq 2$ に対して、$n \to \infty$ のとき、非負多項式と平方和の体積比が 0 から離れて保たれるか？
• RQ4 高次元において、非負多項式の錐と平方和の錐の幾何的構造はどのように比較できるか？
• RQ5 同次多項式空間における体積比を用いて、平方和の相対的希少性を定量的に評価できるか？

主な発見

• 体積比 $\left(\frac{=\text{Vol}\,\widetilde{C}}{\text{Vol}\,\widetilde{Sq}}\right)^{1/D_M}$ は $c(k) n^{(k-1)/2}$ のオーダーで増大し、ここで $c(k)$ は $k$ のみに依存する定数である。これにより、固定された $k \geq 2$ に対して $n \to \infty$ のとき、非負多項式は平方和を著しく上回ることが証明された。
• $k=1$ のとき $\widetilde{C} = \widetilde{Sq}$ であるため、比は定数であるが、$k \geq 2$ のとき比は無限大に発散する。これにより、平方和は高次元において漸近的に無視できることが示された。
• $\widetilde{C}$ の正規化体積に対する下界は $\frac{1}{2\sqrt{4k+2}} n^{-1/2}$ であり、高次元において非負多項式の錐が大きいことを示している。
• $\widetilde{Sq}$ の正規化体積に対する上界は $\frac{4^{2k}(2k)!\sqrt{24}}{k!} n^{-k/2}$ であり、$k \geq 2$ のとき $n$ に対して多項式的に減少する。これにより、高次元空間において平方和は希少であることが示された。
• この結果は、非負多項式が平方和として表現できないものは、高次元において病理的ではなく、むしろ一般的であることを示しており、低次元の例からの直感とは矛盾する。
• 計算複雑性の観点から、高次元において非負性のテストを平方和のテストに緩和しても、元の錐をよく近似できない。なぜなら、平方和の集合は全錐に比べて体積が無視できるほど小さいからである。