[論文レビュー] There is no separable universal II_1-factor

Narutaka Ozawa|ArXiv.org|Oct 27, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、すべての可分な II₁-因子が、すべての可分な II₁-因子を含むことができないことを、Kazhdanの性質 (T) を持つ非同型の単純な ICC 群が非可算個存在し、それらが任意の可分な II₁-因子のユニタリ群に埋め込めないことを示すことによって証明する。主な結果は、性質 (T) の群の剛性と、それらが可分なフォン・ノイマン代数に埋め込めないという事実により、普遍的な II₁-因子は存在しないということである。

ABSTRACT

Gromov constructed uncountably many pairwise non-isomorphic discrete groups with Kazhdan's property (T). We will show that no separable II_1-factor can contain all these groups in its unitary group. In particular, no separable II_1-factor can contain all separable II_1-factors in it. We also show that the full group C*-algebras of some of these groups fail the lifting property.

研究の動機と目的

• すべての可分な II₁-因子を部分因子として含む可分な普遍的 II₁-因子の存在に関する問題を解決すること。
• Kazhdanの性質 (T) を持つ非同型の単純な ICC 群が非可算個存在するが、それらが可分な II₁-因子のユニタリ群にどのように埋め込まれるかを調査すること。
• これらの群のフル群 C*-代数の持ち上げ性質と、それらの普遍的な C*-代数的性質を検討すること。
• von ノイマン代数的技法を用いて、特定の性質 (T) を持つ ICC 群のクラスに関して、Connesの予想を可算集合のモジュロで確認すること。

提案手法

• Gromov-Olshanskii の構成を用い、Kazhdanの性質 (T) を持つ非可換な非巡回な双曲的群の、非可算個の非同型の単純な ICC 商を構成する。
• Kazhdanの性質 (T) の定義を、一様なスペクトルギャップを用いて表現する：ユニタリ表現がベクトルをほぼ固定するならば、近くに固定ベクトルが存在する。
• 可分な II₁-因子の標準的表現における可分なヒルベルト空間上で対角論法を適用し、非可算個の異なる群像を抽出する。
• ヒルベルト空間上に、π(s) = uα(s)Juβ(s)J という共通のユニタリ表現を構成する。ここで J は循環的分離トレースベクトルから得られる標準的共役作用素である。
• 性質 (T) のスペクトルギャップを用いて、群全体に対して固定ベクトルを導出し、異なる群準同型の核に対して矛盾を引き起こす。
• C*-代数理論における双対性と最大テンソル積の技法を用い、これらの群のフル群 C*-代数のクラスに対して、可分な C*-代数が補完的普遍的であることはありえないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分な II₁-因子は、すべての可分な II₁-因子を部分因子として含むことができるか？
• RQ2 すべての可分な II₁-因子を安定同値を介して含む可分な普遍的 II₁-因子は存在するか？
• RQ3 Kazhdanの性質 (T) を持つ非可算個の非同型の単純な ICC 群のフル群 C*-代数は、持ち上げ性質を満たすか？
• RQ4 これらのすべての群は、ヒルベルト空間の超冪のユニタリ群に埋め込むことができるか？
• RQ5 これらの性質 (T) を持つ群のフル群 C*-代数のクラスに対して、可分な補完的普遍的 C*-代数は存在するか？

主な発見

• 可分な II₁-因子は、Kazhdanの性質 (T) を持つ非可算個の非同型の単純な ICC 群をユニタリ群に含むことはできない。
• 可分な II₁-因子 M が Γα に同型な部分群を含むような添字 α の集合は、高々可算個である。
• 可分な II₁-因子 M が LΓα と安定同値な部分因子を含むような添字 α の集合は、高々可算個である。
• ある α ∈ I に対して、フル群 C*-代数 C*Γα は持ち上げ性質を満たさないため、ある意味で核型ではない。
• クラス {C*Γα : α ∈ I} または {C*redΓα : α ∈ I} のために、可分な補完的普遍的 C*-代数は存在しない。
• 矛盾は、性質 (T) のスペクトルギャップに起因し、異なる群準同型の下で存在しえない固定ベクトルを強制的に導く。