[論文レビュー] There may be no Hausdorff ultrafilters

Tomek Bartoszyński, Saharon Shelah|ArXiv.org|Nov 5, 2003

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ZFCと整合的であることを示している。ω 上にハウスドルフ超フィルターが存在しない。p-点と非有界集合を保存する適切な強制的構成を用いて、著者たちはすべての超フィルターが強く非ハウスドルフであるモデルを構築し、ハウスドルフ超フィルターの非存在がZFCとは独立であることを示している。

ABSTRACT

An ultrafilter U is Hausdorff if for any two functions f,g mapping N to N, f(U)=g(U) iff f(n)=g(n) for n in some X in U. We will show that it is consistent that there are no Hausdorff ultrafilters.

研究の動機と目的

• ω 上にハウスドルフ超フィルターが存在するかどうかがZFCで証明可能かどうかを調査すること。
• ハウスドルフ超フィルターが存在しないZFCのモデルを構築すること。
• ハウスドルフ超フィルターの存在がZFCとは独立であることを示すために、その非存在の整合性を証明すること。
• ハウスドルフ性という性質が、追加の集合論的仮定のもとでもZFCから証明できないことを確立すること。
• 強制的技法を用いて、このような超フィルターの存在がZFCを超える追加の公理に依存することを示すこと。

提案手法

• 有限から1対1への関数と積上の被覆数に基づく組合せ的構成を用いて、CHを満たすモデル内で強く非ハウスドルフなp-点を構築する。
• p-点と非有界集合を保存する適切な強制の概念Pを導入し、Pがフィルターの強く非ハウスドルフ性を保存することを保証する。
• Pの可算補助反復を用いて、GCH、2^ℵ₀ = ℵ₂、およびNCF（近似可算対一）原理を満たすモデルV^Pを構築する。
• V^Pにおいて、任意の超フィルターUについて、h ∈ FtO に対してh(U) がハウスドルフでないことを、NCF原理と有限から1対1への写像による非ハウスドルフ性の保存を用いて証明する。
• 可算モデル上のコーエン実数を用いた一般性の議論により、h(U₀) が拡張においても非ハウスドルフのままであることを示し、コーエン一般性の保存と強制拡張の性質を活用する。
• 初等性と一般性を用いて、非ハウスドルフ性を基本モデルから拡張に移す。これにより、V^Pにおけるいかなる超フィルターもハウスドルフにはなり得ないことが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCにおいて、ω 上にハウスドルフ超フィルターが存在するかどうかは証明可能か？
• RQ2 ZFCのモデルでハウスドルフ超フィルターが存在しないように構築可能か？
• RQ3 超フィルターのハウスドルフ性を保存または破壊するために必要な強制的性質は何か？
• RQ4 NCF（近似可算対一）原理は、ハウスドルフ超フィルターの非存在とどのように関係するか？
• RQ5 超フィルターの非ハウスドルフ性が、ZFCを超える集合論的仮定にどれほど依存するか？

主な発見

• ZFCと整合的である。ω 上にハウスドルフ超フィルターが存在しない。
• ZFCのモデルを構築可能であり、すべての超フィルターが強く非ハウスドルフである。つまり、任意のf ∈ FtO に対してf(U) は弱くハウスドルフでない。
• ω₂の長さの強制反復Pはp-点を保存し、拡張におけるすべての超フィルターが非ハウスドルフであることを保証する。
• モデルはNCF原理を満たす。任意の2つの超フィルターU, V に対して、h ∈ FtO が存在し、h(U) = h(V) となる。
• もし基本モデルでU₀が強く非ハウスドルフなp-点であれば、それは拡張で強く非ハウスドルフなフィルターを生成する。
• 強制Pは非有界集合を保存する。これは、可算モデル上のコーエン一般性が拡張でもコーエン一般性のまま保たれることを保証し、非ハウスドルフの証拠構造が維持されることに不可欠である。