[論文レビュー] Thermalization of isolated quantum systems

Sergei Khlebnikov, Martı́n Kruczenski|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Quantum many-body systems参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、孤立系におけるエイジェンスタイト熱化仮説（ETH）を数値的に検証し、熱化が完全なヒルベルト空間ではなく、低次元のクリロフ部分空間内で発生することを示している。2次元格子上のハードコアボソン系において、ETHがこの部分空間で成立することを示し、熱的挙動の出現をエンタングルメントエントロピーの増大と関連づけ、量子重力およびブラックホール物理学に影響を及ぼす。

ABSTRACT

Understanding the evolution towards thermal equilibrium of an isolated quantum system is at the foundation of statistical mechanics and a subject of interest in such diverse areas as cold atom physics or the quantum mechanics of black holes. Since a pure state can never evolve into a thermal density matrix, the Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) has been put forward by Deutsch and Srednicki as a way to explain this apparent thermalization, similarly to what the ergodic theorem does in classical mechanics. In this paper this hypothesis is tested numerically. First, it is observed that thermalization happens in a subspace of states (the Krylov subspace) with dimension much smaller than that of the total Hilbert space. We check numerically the validity of ETH in such a subspace, for a system of hard core bosons on a two-dimensional lattice. We then discuss how well the eigenstates of the Hamiltonian projected on the Krylov subspace represent the true eigenstates. This discussion is aided by bringing the projected Hamiltonian to the tridiagonal form and interpreting it as an Anderson localization problem for a finite one-dimensional chain. We also consider thermalization of a subsystem and argue that generation of a large entanglement entropy can lead to a thermal density matrix for the subsystem well before the whole system thermalizes. Finally, we comment on possible implications of ETH in quantum gravity.

研究の動機と目的

• 孤立系における量子系の熱化が発生する条件を調査すること、特にエイジェンスタイト熱化仮説（ETH）が有限な部分空間で成立するかを明らかにすること。
• 熱化が完全なヒルベルト空間ではなく、次元が低いクリロフ部分空間内で発生するかどうかを特定することにより、計算複雑性を低減すること。
• クリロフ部分空間への投影されたハミルトニアンと1次元鎖におけるアンドリュース局在との関係を検討すること。
• エンタングルメントエントロピーが、全体の平衡に達する以前の部分系の熱化に果たす役割を調査すること。
• ETHが量子重力に与える影響を評価すること、特にブラックホールの微状態と古典的計量の文脈において。

提案手法

• 初期状態が狭いエネルギー重ね合わせ状態にある2次元格子上のハードコアボソン系の時間発展を数値的にシミュレートする。
• ハミルトニアンを繰り返し作用させることで初期状態のスパンとしてクリロフ部分空間を構築し、ヒルベルト空間次元を顕著に低減する。
• ハミルトニアンと観測可能演算子をクリロフ部分空間に投影し、ETHの条件を検証する：エネルギーに滑らかに依存する対角成分と、小さな非対角成分。
• 投影されたハミルトニアンを三重対角形式に変換し、1次元のアンドリュース局在問題としてモデル化する。
• 時間関数としての部分系間のバイパーティットエンタングルメントエントロピー $ S_{AB}(t) $ を計算し、熱化の進行を追跡する。
• 観測可能演算子の期待値の時間発展を、ETHが予測する熱的期待値と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立系のクリロフ部分空間内において、エイジェンスタイト熱化仮説（ETH）が完全なヒルベルト空間ではなく成立するか？
• RQ2 熱化過程における部分系間のエンタングルメントエントロピーはどのように変化するか？また、全体の平衡に達する以前に部分系の熱化を示唆できるか？
• RQ3 クリロフ部分空間への投影されたハミルトニアンは、1次元アンドリュース局在問題とどの程度類似しているか？
• RQ4 ETHは、計量のような古典的ブラックホールの性質が、量子的微状態からどのように出現するかを説明できるか？
• RQ5 ETHが、同じエネルギーを持つすべての微状態が「熱的」演算子に対して同一の期待値を持つことを示唆するならば、計量は量子重力において果たす役割は何か？

主な発見

• 熱化は、完全なヒルベルト空間に比べてはるかに次元が小さいクリロフ部分空間内で発生し、ETHの効率的な数値的検証が可能になる。
• 2次元格子上のハードコアボソン系において、クリロフ部分空間内でのETHが数値的に妥当であることが確認され、観測可能演算子の対角成分がエネルギーに滑らかに依存することが示された。
• クリロフ部分空間における観測可能演算子の非対角成分は十分に小さく、時間平均された期待値が初期状態に依存せず、熱的値に収束することが保証された。
• エンタングルメントエントロピー $ S_{AB}(t) $ は初期に $ S_{AB}(t) \simeq -(Δ E)^2 t^2 \ln(t^2/t_0^2) $ と2次関数的に増加し、その後線形に増加し、熱力学的極限に達した後、全体の平衡に近づくにつれてわずかに減少する。
• エンタングルメントエントロピーの増大によって、全体の熱化に先んじて部分系の熱化が発生しうる。これは、エンタングルメントが熱的挙動の主要な予兆である可能性を示唆する。
• ETHは、ブラックホール計量—他の熱的演算子と同様に—すべての近いエネルギーを持つ微状態で同じ期待値を持つべきであることを示唆しており、古典的計量が根本的性質ではなく、統計的性質として出現すると考えるべきである。