[論文レビュー] Thermo-visco-elaticity for models with growth conditions in Orlicz spaces

Filip Z. Klawe|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたOrlicz空間における温度依存の粘弾性挙動を有する準静的熱 visco-弾性モデルに対して、$x$-依存の$N$-関数を用いて非一様な材料特性を組み込んだもとで、弱解の存在を確立する。解析は、モジュラ収束、単調性法、Young測度論を用いることで、非標準的な成長条件を扱うために、従来のLebesgue空間での結果を拡張する。

ABSTRACT

We study a quasi-static evolution of thermo-visco-elastic model. We act with external forces on non-homogeneous material body, which is a subject of our research. Such action may cause deformation of this body and may change its temperature. Mechanical part of the model contains two kinds of deformation: elastic and visco-elastic. Mechanical deformation is coupled with the temperature and they may influence each other. Since constitutive function on evolution of visco-elastic deformation depends on temperature, the visco-elastic properties of material also depend on temperature. We consider the thermodynamically complete model related to hardening rule with growth condition in generalized Orlicz spaces. We provide the proof of existence of solutions for such class of models.

研究の動機と目的

• Lebesgue空間を超えた一般化されたOrlicz空間へ、$x$-依存の$N$-関数を用いた熱 visco-弾性モデルの解の存在理論を拡張すること。
• 空間的に変化する成長条件を有する非一様材料を、$x$-依存の$N$-関数を用いて厳密にモデル化すること。
• 熱力学的に整合性のある枠組み内で、温度依存の構成法則を用いて粘弾性ひずみの進化を記述すること。
• 上界または下界を仮定しない一般の成長条件のもとで、弱解の存在を確立すること。
• Norton-Hoffモデルを一般化し、$L^p$空間よりも速い成長率を許容し、Prandtl-Reuss挙動に近づけること。

提案手法

• 運動量保存、エネルギー保存、温度依存の構成法則を有する粘弾性ひずみの進化を結合する準静的熱 visco-弾性系を定式化する。
• 空間的に変化する力学的および熱的応答をモデル化するため、$x$-依存の$N$-関数を用いた一般化されたOrlicz空間$L_M$を用いる。
• 有限次元部分空間における近似解を構成するため、Galerkin法を適用する。
• 非線形項（応力およびひずみテンソルを含む）における極限への移行に、単調性および正規化技術を用いる。
• 非標準的な成長条件を扱うために、$L_M$および$L_{M^*}$空間におけるモジュラ収束と弱コンパクトネスを用いる。
• 熱方程式における弱収束列の積の極限を特徴付けるために、Young測度論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたOrlicz空間における粘弾性成長条件を有する熱 visco-弾性モデルに対して、弱解の存在を確立できるか？
• RQ2 $x$-依存の$N$-関数を用いて、非一様材料挙動を熱力学的に整合性のあるモデルに厳密に組み込む方法は何か？
• RQ3 非線形PDEの文脈において、$N$-関数の成長に一様な上界または下界がない場合に、どのような技術が必要か？
• RQ4 一般の成長条件のもとで、温度と粘弾性ひずみの進化の結合が極限過程でも保存されるか？
• RQ5 標準的な$L^p$手法が失敗する状況において、エネルギー方程式における非線形項の収束をYoung測度を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• 本稿では、一般化されたOrlicz空間における温度依存の粘弾性ひずみの進化を有する準静的熱 visco-弾性系に対して、弱解の存在を証明する。
• 上界または下界を仮定しない一般の成長条件のもとで、この存在結果が成り立つことが示され、従来のLebesgue空間での結果を拡張する。
• $x$-依存の$N$-関数に起因する非線形性を制御するために、$L_M$および$L_{M^*}$空間におけるモジュラ収束が用いられる。
• Young測度の使用により、熱方程式における積項$\boldsymbol{T}^d : \boldsymbol{G}(\theta, \boldsymbol{T}^d)$の正しい極限が保証される。
• Galerkin近似と正規化および単調性法の組み合わせにより、非線形系における極限への移行が可能となる。
• $N$-関数および応力作用素$\boldsymbol{D}$が空間変数$x$に依存することを許容するため、本フレームワークは非一様材料を扱える。