[論文レビュー] Thermodynamic form of the equation of motion for perfect fluids of grade n

Henri Gouin|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Aquatic and Environmental Studies参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、圧縮性流体におけるSerrinの結果を一般化し、完全流体の段数 $n$ の運動方程式を普遍的な熱力学的形で定式化する。内部エネルギーがエントロピー、密度、およびそれらの空間勾配（$n-1$ 階微分まで）に依存する変分原理を導出し、第一積分、循環定理（ケルビン型定理を含む）、および流動をオリゴトロピック型とヘンテロロピック型に分類する。圧力、温度、エンタルピーなどの熱力学的量が、高次の流体へ自然に拡張される。

ABSTRACT

We propose a thermodynamic form of the equation of motion for perfect fluids of grade n which generalizes the one given by J. Serrin in the case of perfectly compressible fluids. First integrals and circulation theorems are deduced and a classification of the flows is given.

研究の動機と目的

• 古典的完全流体を超えて、密度およびエントロピーの高次勾配を考慮する段数 $n$ の流体の熱力学的定式化を拡張すること。
• 特に界面層や燃焼流動において顕著な密度および温度変化を捉えることが難しい古典的モデルの限界を克服すること。
• 第一積分、循環定理、および圧縮性流体力学に類似した流動分類を導く統一的な変分枠組みを確立すること。
• 一貫性のある変分原理に基づき、段数 $n$ の流体に対する一般化された熱力学的量（圧力、温度、エンタルピー）を定義すること。

提案手法

• 内部エネルギー密度 $\varepsilon$ を特定エントロピー $s$、密度 $\rho$、およびそれらの空間勾配（$n-1$ 階微分まで）の関数として定式化し、段数 $n$ の流体を定義する。
• 仮想仕事の原理とハミルトンの作用原理を適用し、ラグランジアンの変分を導出し、部分積分を用いて高次勾配を統合する。
• ストークスの定理を用いて境界項を体積積分に変換し、熱力学的に整合性のある運動方程式の導出を可能にする。
• Serrinの手法と数学的に同等となるよう、双対仮想運動を導入し、変分原理の構造を保持する。
• 運動方程式の熱力学的形を $\mathbf{\Gamma} = \theta \, \mathrm{grad}\, s - \mathrm{grad}(h + \Omega)$ として導出する。ここで $\theta$、$p$、$h$ はそれぞれ一般化された温度、圧力、エンタルピーである。
• 速度場 $\mathbf{V} = \mathrm{grad}\, \varphi + \psi \, \mathrm{grad}\, s + \tau \, \mathrm{grad}\, \chi$ の構造に基づき、流動をオリゴトロピック型とヘンテロロピック型に分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 段数 $n$ の完全流体の運動方程式を、熱力学的に整合的かつ普遍的な形でどのように表現できるか？
• RQ2 この熱力学的定式化から導かれる第一積分および循環定理（例：ケルビン型定理）は何か？
• RQ3 圧縮性完全流体に類似した流動分類はどのように可能か？また、高次勾配の影響による構造的差異は何か？
• RQ4 段数 $n$ の流体に対する一般化された熱力学的量（圧力、温度、エンタルピー）は何か？また、それらは変分原理からどのように導出されるか？

主な発見

• 段数 $n$ の完全流体の運動方程式は、一般化された温度 $\theta$、一般化された圧力 $p$、一般化されたエンタルピー $h$ を用いて、熱力学的形 $\mathbf{\Gamma} = \theta \, \mathrm{grad}\, s - \mathrm{grad}(h + \Omega)$ で導出された。
• 閉じた等エントロピー流体曲線に沿った速度の循環は保存され、ケルビンの定理が段数 $n$ の流体へ一般化される。$dJ/dt = \int_\mathcal{C} \theta \, ds$ が成り立つ。
• 流動をオリゴトロピック型とヘンテロロピック型に分類する枠組みが確立され、前者は $\mathbf{V} = \mathrm{grad}\, \varphi + \psi \, \mathrm{grad}\, s$ で特徴づけられ、後者は $\mathbf{V} = \mathrm{grad}\, \varphi + \tau \, \mathrm{grad}\, \chi$ で特徴づけられ、異なる対称性構造を反映する。
• 静的流れに対するクロッコ＝ヴァズソンイ方程式が段数 $n$ の流れへ一般化され、$\mathrm{rot}\, \mathbf{V} \times \mathbf{V} = \theta \, \mathrm{grad}\, s - \mathrm{grad}\, \mathcal{H}$ となる。ここで $\mathcal{H} = \frac{1}{2}\mathbf{V}^*\mathbf{V} + h + \Omega$ である。
• 保存則は等エントロピー粒子の粒子置換対称性に関連しており、循環定理にノネル型の解釈が可能である。
• 本手法は、燃焼や相変化流動における密度および温度の強い勾配を示す界面層のモデル化に一貫性のある枠組みを提供する。