[論文レビュー] Thermodynamic formalism and Substitutions

Nicolas Bédaride, Pascal Hubert+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マーク付き置換のクラス（Thue-Morseの場合を一般化）における記号的力学系のポテンシャルに対する再規格化作用素の収束を確立し、非自明な連続固定点が一意に存在することを示している。初期条件が適切な場合、反復的再規格化 $ R^n(φ) $ がこの固定点に収束し、その漸近的極限は置換の局所的構造に依存する明示的な形で与えられる。

ABSTRACT

This paper studies properties of a Renormalization Operator for potentials in symbolic dynamics. These operators first appeared in \cite{BLL} and the link with substitutions was done in \cite{BL1}. Their fixed points are natural candidates to have pathologic behavior such as phase transitions. If $R$ is such an operator, we study the convergence of $R^{n}(φ)$ to the non-nul fixed point. We define the family of marked substitutions, which contains the Thue-Morse substitution, and show that the associated renormalization operators on potentials admits a unique non-nul continuous fixed point. Then, we show that $R^{n}(φ)$ converges to the fixed point as soon as $φ$ has the right germ close to $\mathbb K$.

研究の動機と目的

• 記号的力学系におけるポテンシャルに対する再規格化作用素 $ R^n(φ) $ の収束を研究すること。
• $ R^n(φ) $ が非ゼロ連続固定点に収束する条件を特定すること。
• Thue-Morse 置換からの結果をマーク付き置換の概念を用いてより広い置換のクラスへ一般化すること。
• 再規格化ダイナミクスと熱力学的形式主義における相転移および病理的挙動を結びつけること。
• マーク付き置換が言語内の混沌とした摂動（「事故」）を局所化・制御できることにより、収束を保証すること。

提案手法

• 記号的力学系におけるポテンシャル $ \varphi $ に作用する再規格化作用素 $ R $ を定義する。
• 左および右のマークを備えた置換のクラス（マーク付き置換）を導入し、有限な接頭辞および接尾辞から文字を再構成可能であることを保証する。
• 置換の定長性を用いて、無限語の言語 $ \mathcal{L} $ を分析し、与えられた接尾辞を含む最小長を測る関数 $ \delta(x) $ を定義する。
• シフトダイナミクス $ \sigma^k(H^n(x)) $ を分析し、接尾辞が位置 $ k $ から始まる最小長 $ \delta_k^n $ を特定する。
• 補題 4.2 を適用して、より長い言語拡張を仮定した場合の矛盾を導出し、$ \delta_k^n $ の正確な値を証明する。
• 再規格化されたポテンシャル $ R^n(\varphi)(x) $ を逆数長の和として計算し、$ n \to \infty $ の極限をとることで、明示的な漸近的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再規格化作用素 $ R^n(\varphi) $ が非ゼロ連続固定点に収束する条件は何か？
• RQ2 特にマーク付き性という置換の構造的性質が、再規格化作用素の収束に与える影響は何か？
• RQ3 ポテンシャル $ \varphi $ が集合 $ \mathbb{K} $ の近傍で特定のガーブを持つとき、$ R^n(\varphi)(x) $ の漸近的挙動は何か？
• RQ4 ポテンシャルに対する再規格化作用素は、置換のような準周期的系における相転移と結びつけることができるか？
• RQ5 「事故」（言語構造における局所的乱れ）は $ R^n(\varphi) $ の収束にどのように影響し、それらは制御可能か？

主な発見

• 任意のマーク付き置換に対して、再規格化作用素 $ \mathcal{R} $ は一意な非ゼロ連続固定点を有する。
• $ \varphi(x) = \frac{1}{p} + o(1/p) $ かつ $ d(x, \mathbb{K}) = 2^{-p} $ のとき、$ p \geq 3 $ に対して $ R^n(\varphi)(x) \to \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) $ となる。
• $ p = 2 $ の場合、極限は $ \frac{1}{2} \ln\left(\frac{4}{3}\right) $ であり、これは $ \delta(x) = 2 $ の場合に対応する。
• $ \varphi $ が $ \mathbb{K} $ の近傍で適切なガーブを持つ場合、$ R^n(\varphi) $ の収束が保証され、固定点に到達することが保証される。
• 証明により、「事故」（予期しない接尾辞の拡張）は局所的であり、マーク付き性の条件のおかげで収束を妨げないことが示された。
• 漸近的極限は、和 $ \sum_{k=0}^{2^n-1} \frac{1}{p \cdot 2^n - k} $ のリーマン和近似により導出され、$ \ln\left(\frac{p}{p-1}\right) $ に収束する。