[論文レビュー] Thermodynamic formalism and the entropy at infinity of the geodesic flow

Aníbal Velozo|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、従来の記号的力学系やコンパクト性に基づく手法が不適切な非コンパクトでピンチングされた負に曲がった多様体に対して、熱力学的形式主義を拡張する。無限遠における2つのエントロピーの概念——位相的および測度論的——を導入・分析し、それらが一致することを証明するとともに、エントロピー写像の上半連続性と関連づける。主な貢献は、一様連続かつ強く正再帰的ポテンシャルに対して、均衡状態の存在と安定性を確立することであり、特に強く正再帰的多様体に対して素測地線定理を示す。

ABSTRACT

In this paper we study the ergodic theory and thermodynamic formalism of the geodesic flow on non-compact pinched negatively curved manifolds. We consider two notions of entropy at infinity, the topological and the measure theoretic entropy at infinity. We prove that both notions coincide and we relate this quantity with the upper semicontinuity of the entropy map. This relationship was already studied in [RV] for geometrically finite manifolds; in this paper we extend such results to arbitrary pinched negatively curved manifolds. We obtain several applications to the existence and stability of equilibrium states. Our approach has the advantage to include certain uniformly continous potentials, a situation that can not be studied through the methods from [PPS]. Of particular importance are potentials that vanish at infinity and those that satisfy a critical gap condition, that is, strongly positive recurrent potentials. We also prove some equidistribution and counting results for closed geodesics (beyond the geometrically finite case). In particular we obtain a version of the prime geodesic theorem for strongly positive recurrent manifolds.

研究の動機と目的

• 従来の記号的力学系やコンパクト性に基づく手法が不適切な非コンパクトでピンチングされた負に曲がった多様体における熱力学的形式主義の拡張。
• 無限遠における2つのエントロピーの概念——位相的および測度論的——の定義と分析を行い、それらの等価性の証明。
• 非コンパクトな設定におけるエントロピー写像の上半連続性と無限遠におけるエントロピーの関係を明らかにし、幾何的に有限な多様体における結果を、任意のピンチングされた負に曲がった多様体へ一般化。
• 一様連続および強く正再帰的ポテンシャルに対して、均衡状態の存在と安定性を確立し、無限遠で消えるものも含む。
• 閉測地線に関する等分布および数え上げ結果を示し、特に強く正再帰的多様体に対して素測地線定理を確立。

提案手法

• 非コンパクトな測地線フローのための主要不変量として、無限遠における位相的エントロピー δ∞ を導入。
• 確率測度の弱*収束および曖昧収束を用いて漸近的エントロピーの振る舞いを分析し、無限遠におけるエントロピーを定義。
• 収束する確率測度列に沿ったエントロピーの上界不等式を用いて、位相的および測度論的エントロピーが無限遠で等価であることを確立。
• 幾何的に有限な多様体を一般化するクラスを定義するために、強正再帰性（SPR）の概念を適用。
• 離散群のシュットキー結合を用いて、無限大な測地線長の重複度を持つSPR多様体の例を構成。
• 文献[ST, DOP, RV]の結果を用いて、シュットキー結合の δ∞ を計算し、臨界指数の比較によりSPR条件を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトでピンチングされた負に曲がった多様体上の測地線フローに対して、無限遠における位相的および測度論的エントロピーの概念は一致するか？
• RQ2 非コンパクトな設定において、無限遠におけるエントロピーはエントロピー写像の上半連続性とどのように関係するか？
• RQ3 ホルダー正則性が欠如する状況においても、一様連続ポテンシャルに対して均衡状態を保証できるか？
• RQ4 強正再帰性が均衡状態の存在と安定性を保証する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ5 数え上げ定理が幾何的に有限な多様体を超えてどの程度一般化可能か？

主な発見

• 位相的および測度論的エントロピーが無限遠で一致し、その共通値は曖昧収束する確率測度列に沿ったエントロピーの上極限に等しい。
• 幾何的に有限な場合、無限遠におけるエントロピー δ∞ は、放物的部分群の臨界指数に等しく、一般にはすべての放物的部分群の臨界指数の最大値に等しい。
• 強く正再帰的（SPR）多様体では、最大エントロピー測度が存在し、相関関数が指数的減衰を示すため、閉測地線の等分布が成立する。
• SPR多様体に対して素測地線定理が確立され、古典的結果が幾何的に有限な設定を超えて一般化された。
• 無限に多くの同じ長さの測地線を持つSPRハイパーオリック3次元多様体の構成により、数え上げ結果においてコンパクト集合と交わることの必要性が示された。
• 臨界指数 δΓ は δΓ,∞ = max{δΓ₁,∞, δΓ₂,∞} = 1 < δΓ₂ ≤ δΓ を満たし、結果として得られる多様体 M が無限体積かつ非有限生成の基本群を持つSPRであることを確認した。