[論文レビュー] Thermodynamic interpretation of Wasserstein distance

Andreas Dechant, Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 22被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、拡散過程における最小エントロピー生成（散逸）が、初期および最終確率分布間のL²-Wasserstein距離の二乗に比例することを示すことにより、Wasserstein距離に直接的な熱力学的解釈を提示する。主な結果は、初期状態と最終状態の平均および共分散行列のみを用いた散逸の下界であり、初期状態と最終状態がガウス分布である場合、線形力によって最適プロトコルが達成可能である。

ABSTRACT

We derive a relation between the dissipation in a stochastic dynamics and the Wasserstein distance. We show that the minimal amount of dissipation required to transform an initial state to a final state during a diffusion process is given by the Wasserstein distance between the two states, divided by the total time of the process. This relation implies a lower bound on the dissipation for any diffusion process in terms of its initial and final state. Using a lower bound on the Wasserstein distance, we further show that we can give a lower bound on the dissipation in terms of only the mean and convariance matrix of the initial and final state. We apply this result to derive the optimal forces that minimize the dissipation for given initial and final mean and covariance.

研究の動機と目的

• 確率的拡散過程におけるWasserstein距離の熱力学的解釈を確立すること。
• 有限時間における拡散過程のエントロピー生成（散逸）の下界を導出すること。
• 与えられた初期状態と最終状態に対して散逸を最小化する最適プロトコルを特定すること。
• 初期状態と最終状態がガウス分布である場合、与えられた平均と共分散に対して最小の散逸が達成可能であることを示すこと。
• 初期状態と最終状態がガウス分布である場合の最適力場の明示的解析的表現を提供すること。

提案手法

• 初期状態と最終状態の確率分布間のWasserstein距離を用いて、エントロピー生成の下界を導出する。
• 最適輸送のBenamou-Brenier定式化を適用し、確率的拡散ダイナミクスとノイズのない輸送経路を結びつける。
• ガウス分布間のWasserstein距離に関する既知の下界を用いて、最小散逸を平均と共分散行列の関数として表現する。
• 最小散逸を実現する最適力場の明示的形を導出し、それは位置および時間に依存する線形関数であることを示す。
• 最適ダイナミクスがガウス性を保ち、平均および共分散行列の平方根が初期値と最終値の間で線形補間されることを示す。
• 最小散逸が、初期状態と最終状態が両方ともガウス分布である場合に達成可能であり、非可換な共分散行列に対しても成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wasserstein距離は、確率的拡散過程における最小散逸の指標として解釈可能か？
• RQ2 初期状態と最終状態の平均および共分散行列にのみ依存する、エントロピー生成の最もタイトな下界は何か？
• RQ3 最小散逸はどのような条件下で達成可能であり、それに対応する最適力場は何か？
• RQ4 最小散逸プロトコルは線形力モデル内で実現可能であり、非線形代替手法を上回る性能を示すか？
• RQ5 初期状態と最終状態がガウス分布である場合、最適プロトコルは明示的に構築可能か？

主な発見

• 拡散過程における最小エントロピー生成は、初期状態と最終状態間のWasserstein距離の二乗に比例し、移動度、温度、全時間でスケーリングされる。
• 初期状態と最終状態の平均および共分散行列のみに依存する散逸の下界が導出され、最適プロトコルの知識を必要としない。
• 最小散逸は、初期および最終確率分布が両方ともガウス分布である場合に達成可能であり、これは与えられたモーメントに対してガウスダイナミクスが最適であることを示唆する。
• 最適力場は、位置および時間に依存する線形関数として明示的に導出され、時間に依存する平均および共分散行列の平方根が初期値と最終値の間で線形補間される。
• 初期状態と最終状態の共分散行列が可換である場合、最適力場は平均および共分散の時間微分を含む閉形式の式で与えられる。
• この結果は、与えられた一次モーメントおよび二次モーメントに対して、非線形力プロトコルが線形力プロトコルを上回る散逸最小化性能を示せないことを示唆する。