[論文レビュー] Thermodynamic limit for directed polymers and stationary solutions of the Burgers equation

Yuri Bakhtin, Liying Li|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、固定された漸近的勾配をもつ指向的高分子の無限体積ギブス測度の存在と一意性を確立し、熱力学的極限としての収束を証明する。さらに、高分子測度を用いて、確率的力による粘性バーガース方程式の定常解を構成し、同じ空間平均を持つ引き込み吸引子を介して、One Force – One Solution 原理を示す。

ABSTRACT

The first goal of this paper is to prove multiple asymptotic results for a time-discrete and space-continuous polymer model of a random walk in a random potential. These results include: existence of deterministic free energy density in the infinite volume limit for every fixed asymptotic slope; concentration inequalities for free energy implying a bound on its fluctuation exponent; straightness estimates implying a bound on the transversal fluctuation exponent. The culmination of this program is almost sure existence and uniqueness of polymer measures on one-sided infinite paths with given endpoint and slope, and interpretation of these infinite-volume Gibbs measures as thermodynamic limits. Moreover, we prove that marginals of polymer measures with the same slope and different endpoints are asymptotic to each other. The second goal of the paper is to develop ergodic theory of the Burgers equation with positive viscosity and random kick forcing on the real line without any compactness assumptions. Namely, we prove a One Force -- One Solution principle, using the infinite volume polymer measures to construct a family of stationary global solutions for this system, and proving that each of those solutions is a one-point pullback attractor on the initial conditions with the same spatial average. This provides a natural extension of the same program realized for the inviscid Burgers equation with the help of action minimizers that can be viewed as zero temperature limits of polymer measures.

研究の動機と目的

• 固定された漸近的勾配をもつ指向的高分子に対する無限体積ギブス測度の存在と一意性を確立すること。
• 集中度および直線性の推定値を証明し、自由エネルギーおよび横方向フラクチュエーション指数の上限を求める。
• 高分子測度を用いて、確率的力による粘性バーガース方程式への One Force – One Solution 原理を拡張すること。
• 同じ勾配だが異なる端点をもつ高分子測度が、無限体積極限において漸近的に同値であることを示すこと。
• コンパクト性の仮定なしに、実直線上の粘性バーガース方程式に対するエルゴディック理論を、確率的制御およびフェイマン＝カック法を用いて開発すること。

提案手法

• 時間離散的・空間連続的高分子モデルを用い、確率的ポテンシャルを導入して、無限体積極限における漸近的自由エネルギー密度を導出する。
• 集中不等式および大偏差技法を適用して、自由エネルギーのフラクチュエーション指数の上限を求める。
• パス局在化および分配関数解析に基づく直線性推定値を用いて、横方向フラクチュエーションを制御する。
• 一方向無限パス上の有限体積ギブス測度のほとんど確実極限として、無限体積高分子測度を構成する。
• ホフ＝コール変換を用いて、粘性ハミルトン＝ジャコビ＝ベルマン方程式とバーガース方程式を結びつける。
• フェイマン＝カック公式および確率的制御理論を用いて、解の表現を行い、エルゴディック性および引き込み吸引子の性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された漸近的勾配をもつ指向的高分子に対する無限体積ギブス測度は存在するか？また、一意的か？
• RQ2 熱力学的極限における高分子測度のフラクチュエーションおよび横方向局在化特性は何か？
• RQ3 高分子測度を用いて、確率的力による粘性バーガース方程式の定常グローバル解を構成できるか？
• RQ4 確率的キック力による粘性バーガース方程式において、One Force – One Solution 原理が成り立つか？
• RQ5 同じ勾配だが異なる端点をもつ高分子測度は、無限体積極限においてどのように漸近的に振る舞うか？

主な発見

• 自由エネルギー密度は、すべての固定された漸近的勾配に対して、無限体積極限でほとんど確実に決定的極限に収束する。
• 自由エネルギーのフラクチュエーション指数は有界であり、熱力学的極限において劣拡散的フラクチュエーションを示す。
• 直線性推定値のおかげで、横方向フラクチュエーション指数は有界であり、パス局在化を示唆する。
• 無限体積高分子測度はほとんど確実に存在し、各固定された漸近的勾配に対して一意的であり、熱力学的極限を形成する。
• 同じ勾配だが異なる端点をもつ高分子測度の周辺分布は、パス長が無限に近づくにつれて漸近的に同値である。
• One Force – One Solution 原理が成立する：確率的力による粘性バーガース方程式の各定常解は、同じ空間平均を持つ初期条件の一点引き込み吸引子である。