[論文レビュー] Thermodynamic uncertainty relations

Jos Uffink, J. H. van Lith-van Dis|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 1998

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、量子力学的不確定性関係と熱力学的変数（特に内部エネルギー U と逆温度 1/T）の類似性を厳密に分析することで、熱力学的不確定性関係を検討している。Mandelbrot の不確定性関係 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k が数学的に量子不確定性関係と同型であることを示しているが、これはカノニカル集合（熱浴と接触している系）に限って成り立つため、孤立系と熱浴に接続された系の間のより広範な補完性は否定される。

ABSTRACT

Bohr and Heisenberg suggested that the thermodynamical quantities of temperature and energy are complementary in the same way as position and momentum in quantum mechanics. Roughly speaking, their idea was that a definite temperature can be attributed to a system only if it is submerged in a heat bath, in which case energy fluctuations are unavoidable. On the other hand, a definite energy can only be assigned to systems in thermal isolation, thus excluding the simultaneous determination of its temperature. Rosenfeld extended this analogy with quantum mechanics and obtained a quantitative uncertainty relation in the form (Delta U) (Delta (1/T)) >= k where k is Boltzmann's constant. The two `extreme' cases of this relation would then characterize this complementarity between isolation (U definite) and contact with a heat bath (T definite). Other formulations of the thermodynamical uncertainty relations were proposed by Mandelbrot (1956, 1989), Lindhard (1986) and Lavenda (1987, 1991). This work, however, has not led to a consensus in the literature. It is shown here that the uncertainty relation for temperature and energy in the version of Mandelbrot is indeed exactly analogous to modern formulations of the quantum mechanical uncertainty relations. However, his relation holds only for the canonical distribution, describing a system in contact with a heat bath. There is, therefore, no complementarity between this situation and a thermally isolated system.

研究の動機と目的

• ボール, ハイゼンベルク、および他の研究者らが提唱した熱力学的不確定性関係の概念的および数学的基盤を明確化すること。
• 文献において不確実性関係の有効範囲や妥当性についての合意が得られていないという問題を解決すること。
• 熱的に孤立した系（エネルギーが明確に定義される）と熱浴に接続された系（温度が明確に定義される）の間の補完性が、不確定性関係によって厳密に裏付けられているかどうかを評価すること。
• 熱力学的不確定性と量子力学的不確定性関係との間の形式的類似性を詳細に検討すること。
• Mandelbrot の不確定性関係 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k の有効範囲、特に統計集団との関係を特定すること。

提案手法

• カノニカル集合の文脈において、Mandelbrot (1956, 1989) が提唱した熱力学的不確定性関係を分析する。
• Mandelbrot の関係式 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k を、現代の量子力学的不確定性関係の形式と比較する。
• 統計力学の原則を適用して、カノニカル分布を仮定した場合の不確定性関係の妥当性を評価する。
• 不確定性関係がカノニカル集合において数学的に等式として成立することを示し、孤立系との補完性を示唆しないこと。
• 平衡統計力学の形式的枠組みを用いて、不確定性関係がカノニカル分布の性質に起因することを示す。
• 不確定性関係が集団間で対称的でないことを示すことにより、孤立と熱接触の間の一般化された熱力学的補完性の概念を否定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mandelbrot の熱力学的不確定性関係 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k は、数学的に量子力学的不確定性関係と類似しているか？
• RQ2 不確定性関係は、熱的に孤立した系（U が明確に定義される）と熱接触している系（T が明確に定義される）の間の根本的な補完性を示唆するか？
• RQ3 不確定性関係の統計的集団依存性は何か？ また、カノニカル集合を超えて成り立つか？
• RQ4 複数の形式化がなされているにもかかわらず、なぜ文献において熱力学的不確定性関係について合意が得られていないのか？
• RQ5 不確定性関係はカノニカル分布から導出可能か？ その限界は何か？

主な発見

• Mandelbrot の不確定性関係 (ΔU)(Δ(1/T)) ≥ k は、数学的に量子力学的不確定性関係と同型であり、形式的な妥当性が確認される。
• この関係は、系が熱浴と接触しており温度が明確に定義されるカノニカル集合において正確に成立する。
• 不確定性関係は、孤立系（明確なエネルギー）と熱浴に接続された系（明確な温度）の間の一般補完性を支持しない。なぜなら、この関係は孤立系では定義されないからである。
• 微小カノニカル集合（孤立系）には類似の不確定性関係が存在しないため、両極端の間の対称的補完性の考えは無効である。
• Rosenfeld や Lindhard、Lavenda が提唱した他の形式化は、整合性が欠けているか、より不正確であることが示され、合意の欠如に寄与している。
• 本稿は、不確定性関係がカノニカル分布の性質に起因するものであり、普遍的な熱力学的双対性ではないと結論づける。