[論文レビュー] Thermoelastic Response of Fractional-Order Nonlocal and Geometrically Nonlinear Beams

Sai Sidhardh, Sansit Patnaik+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、熱力学的に整合的な構成関係と分数階有限要素法（f-FEM）を用いて、Euler-Bernoulli梁のための分数階非局所熱弾性理論を提案する。本研究は、分数階モデルが、熱・機械的荷重が同時に作用する条件下でも、各点において熱力学的平衡法則を厳密に適用可能であることを示している。

ABSTRACT

This study presents both the theoretical framework and the finite element solution to the fractional-order nonlocal thermoelastic response of beams. The constitutive relations of the fractional-order medium are developed based on thermodynamic principles. Remarkably, it is shown that the fractional model allows the rigorous application of thermodynamic balance principles at every point within the domain. The theory is applied to the analysis of the nonlocal response of Euler-Bernoulli beams under combined thermo-mechanical loads. The governing fractional-differential equations and the associated boundary conditions for the elastic field variables are derived using variational principles. The fractional finite element method (f-FEM) is used to numerically solve the linear and nonlinear fractional-order system of equations. Further, the numerical model is used to study the thermoelastic response of the nonlocal beam subject to various thermo-mechanical loads and boundary conditions. The fractional thermoelasticity framework is expected to provide consistent models for nonlocal interactions in complex nonlocal structures exposed to a thermo-mechanical environment.

研究の動機と目的

• 熱・機械的荷重下における梁構造の熱力学的に整合的な分数階非局所モデルの構築を目的とする。
• 古典的非局所弾性理論が微小スケールにおいて熱力学的原則を厳密に適用できないという限界を克服することを目的とする。
• 分数階微積分を幾何学的非線形系への非局所熱弾性への応用へと拡張することを目的とする。
• 構造力学における分数階微分方程式を解くための堅牢な数値フレームワークの提供を目的とする。
• 非局所性および幾何学的非線形性が梁の熱弾性挙動に与える影響を調査することを目的とする。

提案手法

• 熱力学的原則を用いて分数階構成関係を導出し、各材料点で整合性を保証する。
• 変分原理を適用して、支配的分数階微分方程式および関連する境界条件を導出する。
• 得られた線形および非線形分数階系を数値的に解くために、分数階有限要素法（f-FEM）を採用する。
• 幾何学的非線形性を梁の定式化に組み込み、複合荷重下における大きなたわみを捉える。
• 分数階微分方程式の弱形式を用いることで、安定的かつ高精度な有限要素離散化を実現する。
• さまざまな熱・機械的荷重および境界条件の下で数値シミュレーションを実施し、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階非局所性を熱弾性理論に整合的に統合することは可能か？ また、各点で熱力学的平衡を保持できるか？
• RQ2 分数階非局所パラメータが梁の熱的および機械的挙動に与える影響は何か？
• RQ3 幾何学的非線形性と非局所効果が、梁の熱弾性挙動にどのように相互作用するか？
• RQ4 f-FEMは、分数階系における非局所的および非線形的挙動をどれほど正確に捉えられるか？
• RQ5 異なる境界条件および荷重配置が、非局所熱弾性応答にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 分数階モデルにより、定義域の各点において熱力学的平衡原理を厳密に適用可能となり、古典的非局所モデルの限界を克服した。
• 導出された分数階微分方程式は、機械的および熱的荷重が同時に作用する梁の非局所熱弾性挙動を正確に記述している。
• f-FEMによる解法は、複雑な分数階微分方程式系を解く上での数値的安定性および収束性を示している。
• モデルは、分数階パラメータの変化に伴い、梁のたわみおよび応力分布が顕著に変化することを明らかにした。これは強い非局所効果を示している。
• 幾何学的非線形性は、非局所効果の影響を強化しており、特に大きなたわみが生じる状況で顕著である。
• 境界条件および荷重タイプが非局所応答に顕著な影響を与えることが判明し、適切なモデリング手法の選定の重要性が強調された。