[論文レビュー] Thermostatistics with minimal length uncertainty relation

Babak Vakili, Mohammad Ali Gorji|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子重力から生じる最小長スケールを組み込む一般化不確定性原理（GUP）フレームワーク内で統計力学を展開する。一般化された交換関係を用いた位相空間構造の変形により、修正されたマクスウェル＝ボルツマン、ボーズ＝アインシュタイン、フェルミ＝ディラック統計が導出され、高温における励起粒子数に有限の上限が存在することが示され、古典的統計に見られない新しい量子重力効果による凝縮が生じることを示している。

ABSTRACT

Existence of minimal length is suggested in any quantum theory of gravity such as string theory, double special relativity and black hole physics. One way to impose minimal length is deforming Heisenberg algebra in phase space which is called Generalized Uncertainty Principle (GUP). In this paper, we develop statistical mechanics in GUP framework. Our method is quite general and does not need to fix the generalized coordinates and momenta. We define general transformation in phase space which transforms usual Heisenberg algebra to a deformed one. In this method, quantum gravity effects only acts on the structure of phase space and we relate these effects to the density of states. We find an interesting phenomenon in Maxwell-Boltzmann statistics which has not a classical analogy. We show that there is an upper bound for the number of excited particles in the limit of high temperature which implies to the condensation. Also we study modification of Bose-Einstein condensation and the completely degenerate gas.

研究の動機と目的

• 一般化不確定性原理（GUP）を用いて、最小長スケールを導入することで、量子重力効果を統計力学に組み込むこと。
• 座標や運動量を特定しない一般化された枠組みを構築し、位相空間の変形に焦点を当てた、熱力学的統計の一般理論の開発。
• GUPに埋め込まれた量子重力補正が、状態密度および統計分布に与える影響の解明。
• GUP補正下での理想気体の熱力学的挙動、特にボーズ＝アインシュタイン凝縮および完全に縮退した気体の解析。
• 統計系に現れる、量子重力の新たな兆候の同定、例えば高温における励起粒子数の上限。

提案手法

• GUPを用いて変形されたヘイゼンベルク代数を導出し、交換関係 $[\hat{X}_i, \hat{P}_j] = i\hbar(1 + \beta \mathbf{P}^2)\delta_{ij}$ を通じて最小長を導入する。
• 標準ヘイゼンベルク代数を変形されたGUP代数に写像する一般位相空間変換を導入し、一般性を保つ。
• $\beta$ の2次までで、位相空間における状態密度を修正し、$a(\varepsilon)d\varepsilon \simeq \frac{d^3Xd^3P}{h^3}(1 - 3\beta P^2 + 6\beta^2 P^4 + \cdots)$ を用いる。
• 修正された状態密度を応用し、一般化されたフェルミ＝ディラックおよびボーズ＝アインシュタイン関数を用いて、粒子密度および圧力を導出する。
• エネルギー運動量関係 $\varepsilon = \eta P^\alpha$ に対して一般化されたべき乗則関係を用い、粒子密度および圧力の式を $\beta$ のべき級数に展開する。
• 積分を標準的なフェルミ＝ディラックおよびボーズ＝アインシュタイン関数で表すために関数 $h_\nu(z)$ を用い、補正の解析的取り扱いを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力が示唆する最小長の存在が、標準統計力学の枠組みにどのように影響を与えるか？
• RQ2 GUPで変形された位相空間構造が、多体系における状態密度および統計分布に与える影響は何か？
• RQ3 GUPフレームワークは、高温における励起粒子数の有限上限といった、新たな熱力学的挙動を生じるか？
• RQ4 標準量子統計と比較して、GUP下でのボーズ＝アインシュタイン凝縮および縮退量子ガスはどのように変化するか？
• RQ5 修正された粒子密度および圧力は、GUP補正を含む標準特殊関数で解析的に表現可能か？

主な発見

• GUPフレームワークにより、高温におけるマクスウェル＝ボルツマン統計において励起粒子数に有限の上限が生じ、古典的統計にない新しい形の凝縮が生じることが示された。
• 修正された粒子密度には、エネルギー運動量関係 $\varepsilon = \eta P^\alpha$ に依存する $\beta (T/\eta)^{2/\alpha}$ および $\beta^2 (T/\eta)^{4/\alpha}$ の補正項が含まれる。
• 超相対論的極限（$\alpha = 1$）では、粒子密度の補正は $\beta T^2$ のスケーリングを示し、高温において標準統計から顕著なずれを示す。
• 圧力に対しても $\beta$ の高次補正が生じ、主要補正項は $\beta (T/\eta)^{2/\alpha}$ およびガンマ関数と $h_\nu(z)$ 関数の比を含む。
• 修正されたボーズ＝アインシュタインおよびフェルミ＝ディラック分布は関数形を保つが、$\beta$ に依存する補正項を乗じる形となり、基礎となる位相空間構造の変形が示唆される。
• 結果から、GUPに符号化された量子重力効果が、特に高エネルギーまたは高温領域において、熱力学的量に観測可能なずれを引き起こす可能性があることが示唆された。