[論文レビュー] Theta constants associated to cubic three folds

Keiji Matsumoto, Tomohide Terasoma|ArXiv.org|Aug 3, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、立方曲面の三重被覆（P³上に立方曲面を分岐として持つ）の中間ヤコビアンの (1−ρ)- torsion 点に関連するシータ定数を用いて、27本の直線をもつ立方曲面のモジュライ空間の W(E₆)-不変な射影埋め込みを確立する。主な結果は、4次元複素球 B₄ 上のシータ定数から得られるこの埋め込みが、一般位置に6点をもつ P² のモジュライ空間の古典的射影埋め込みと一致することであり、これにより周期写像の明示的逆写像が得られる。

ABSTRACT

For a cubic surface X, by considering the intermediate Jacobian J(Y) of the triple covering Y of the 3-dimensional projective space branching along X, Allcock, Carlson and Toledo constructed a period map per from the family of marked cubic surfaces to the four dimensional complex ball embedded in the Siegel upper half space of degree 5. We give an expression of the inverse of per in terms of theta constants by constructing an isomorphism between J(Y) and a Prym variety of a cyclic 6-ple covering of the projective line branching at seven points.

研究の動機と目的

• 27本の直線をマークした立方曲面のモジュライ空間の W(E₆)-不変な射影埋め込みを、シータ定数を用いて構成すること。
• 4次元複素球上のシータ定数と P² に一般位置に6点をもつモジュライ空間の古典的座標との間の明確な対応を確立すること。
• 周期写像 Γ\B₄ → M_cs からの逆写像が、これらのシータ定数によって明示的に与えられることを証明すること。
• P³ の立方曲面を分岐として持つ三重被覆の中間ヤコビアンの (1−ρ)- torsion 部分群におけるワイル群 W(E₆) の作用を理解すること。

提案手法

• 中間ヤコビアン J(Y) の (1−ρ)- torsion 群に属する要素 v に対し、4次元複素球 B₄ 上にシータ定数 Θᵥ(τ) を定義する。
• 立方曲面上の直線の μ₃-被覆のプリム多様体と J(Y) の同型を用いて、J(Y) の周期を genus 11 曲線の周期と関連付ける。
• W(E₆) が27本の直線に作用することと、J(Y)₁₋ρ 上の F₃-ベクトル空間構造を活用し、80個の非ゼロシータ定数を分類する。
• 80個の非ゼロシータ定数の立方を用いて、射影埋め込み Θ: Γ\B₄ → P⁷⁹ を構成し、これが W(E₆)-不変であることを示す。
• この埋め込みが、周期写像 φ を含む可換図式を介して、P² に一般位置に6点をもつモジュライ空間 M₆pts の古典的 W(E₆)-不変埋め込み Z と一致することを証明する。
• F₃⁵ 上の組合せ的恒等式とピルッカー型関係式を用い、シータ定数と Z 多項式の間の3次関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 M_cs から球商 Γ\B₄ への周期写像の逆写像を、どのように明示的に記述できるか？
• RQ2 P² に一般位置に6点をもつモジュライ空間の W(E₆)-不変射影埋め込みと、球上のシータ定数との関係は何か？
• RQ3 中間ヤコビアンのプリム構成は、周期写像とシータ定数とどのように関係するか？
• RQ4 (1−ρ)- torsion 点に関連するシータ定数が満たす代数的関係は何か？
• RQ5 古典的埋め込み M₆pts ⊂ P⁷⁹ は、球上のシータ定数からどのように回復できるか？

主な発見

• 80個の非ゼロシータ定数の立方を用いた Γ\B₄ の射影埋め込み Θ は W(E₆)-不変であり、P² に一般位置に6点をもつモジュライ空間 M₆pts の古典的埋め込み Z と一致する。
• 周期写像 φ: M_cs → Γ\B₄ の逆写像は、明示的にシータ定数によって与えられ、写像は像への同型写像である。
• 80個の非ゼロシータ定数は、二次形式 q に関して F₃⁵ 内の80個の自己直交ベクトルに一対一対応し、それらの立方が埋め込みを定義する。
• 周期写像は固有かつ全射であり、単射性から周期写像が同型写像であることが示され、モジュライ空間の均質化が確認される。
• シータ定数の間の3次関係が導出され、特に w ∈ R に対して ∑_{v∈Ĩ(w)} Θᵥ³ = 0 が成り立ち、最大の自己直交部分空間 V₁, V₂ で交わりが1次元である場合、次数9の恒等式 ∏_{v₁∈S_{V₁}} Θᵥ₁³ = ε̃(S_{V₁},S_{V₂}) ∏_{v₂∈S_{V₂}} Θᵥ₂³ が成り立つ。
• 方程式系 ∑_{v∈Ĩ(w)} Zᵥ = 0 および ∏_{v₁∈S_{V₁}} Zᵥ₁ = ε̃(S_{V₁},S_{V₂}) ∏_{v₂∈S_{V₂}} Zᵥ₂ は、P⁷⁹ 内の M₆pts の閉包を定義する。