[論文レビュー] Theta functions and algebraic curves with automorphisms

G. S. Wijesiri, Wijesiri, G. S.|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双曲的曲線のトマエの公式とリーマンのシータ関数および周期積分に基づく一般的手法を用いて、自己同型を持つ種数2、3、4の巡回代数的曲線の分岐点を、シータ定数（シータノル）の比として明示的な公式で表現する。主な貢献は、このような曲線の周期写像の体系的な逆写像を可能にし、シータ関数による解析的特徴付けを通じてモジュライ空間におけるその分類を可能にすることにある。

ABSTRACT

Let $\X$ be an irreducible, smooth, projective curve of genus $g \geq 2$ defined over the complex field $\C.$ Then there is a covering $π: \X \longrightarrow ¶^1,$ where $¶^1$ denotes the projective line. The problem of expressing branch points of the covering $π$ in terms of the transcendentals (period matrix, thetanulls, e.g.) is classical. It goes back to Riemann, Jacobi, Picard and Rosenhein. Many mathematicians, including Picard and Thomae, have offered partial treatments for this problem. In this work, we address the problem for cyclic curves of genus 2, 3, and 4 and find relations among theta functions for curves with automorphisms. We consider curves of genus $g > 1$ admitting an automorphism $σ$ such that $\X^σ$ has genus zero and $σ$ generates a normal subgroup of the automorphism group $Aut(\X)$ of $\X$. To characterize the locus of cyclic curves by analytic conditions on its Abelian coordinates, in other words, theta functions, we use some classical formulas, recent results of Hurwitz spaces, and symbolic computations, especially for genera 2 and 3. For hyperelliptic curves, we use Thomae's formula to invert the period map and discover relations among the classical thetanulls of cyclic curves. For non hyperelliptic curves, we write the equations in terms of thetanulls. Fast genus 2 curve arithmetic in the Jacobian of the curve is used in cryptography and is based on inverting the moduli map for genus 2 curves and on some other relations on theta functions. We determine similar formulas and relations for genus 3 hyperelliptic curves and offer an algorithm for how this can be done for higher genus curves. It is still to be determined whether our formulas for $g=3$ can be used in cryptographic applications as in $g=2.$

研究の動機と目的

• 自己同型を持つ巡回代数的曲線の分岐点をシータ定数（シータノル）の言語で表現すること。
• モジュライ空間における巡回曲線の分類を特徴付ける周期行列およびシータ関数に関する解析的条件を提供すること。
• 種数2における周期写像の逆写像を種数3および4に拡張し、非自明な自己同型群を有する曲線に対しても適用すること。
• 記号計算と古典的公式を用いて、分岐点をシータ関数の比として計算する一般的手法を開発すること。
• 種数2曲線算術に用いられるものと類似した種数3の公式の暗号的応用可能性を評価すること。

提案手法

• 双曲的曲線の分岐点をシータ定数の比として表すために、トマエの公式を用いる。
• 補題7を適用して、周期積分を通じて除数類とシータ関数を関連付け、周期写像の逆写像を可能にする。
• 複雑な積分を評価し、シータノル間の明示的代数的関係を導出するために、Maple 10を用いた記号計算を実施する。
• 有理数特徴を持つリーマンのシータ関数とその準周期性を用いて、積分とシータ定数を関連付ける。
• ヒューリッツ空間およびシーゲル上半平面へのシンプレクティック群の作用に関する古典的公式を用いて、モジュライ空間の分類を制約する。
• 曲線の明示的パラメトライゼーション（例：$y^3 = (x^2-1)(x^4 - \beta x^2 + 1)$）を導出し、その不変量をシータノルの言語で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型を持つ種数2、3、4の巡回曲線の分岐点は、どのようにシータ定数の比として表現できるか？
• RQ2 周期行列およびシータ関数にどのような解析的条件が課されると、このような曲線のモジュライ分類が特徴付けられるか？
• RQ3 種数2で用いられた手法を、自己同型を持つ種数3および4の曲線へ一般化し、周期写像の逆写像を可能にするか？
• RQ4 自己同型群$C_3$、$C_5$、$C_6 \times C_2$などの巡回曲線のシータノルと不変量との間に、どのような明示的代数的関係が存在するか？
• RQ5 種数3曲線に対して導出された公式は、種数2と同様に暗号システムにどの程度応用可能か？

主な発見

• 自己同型群$C_3$を有する種数2の双曲的曲線に対して、トマエの公式を用いて分岐点がシータノルの有理関数として表現される。
• 自己同型群が$C_3$または$C_5$である種数3の双曲的曲線に対して、不変量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha$とシータ定数の比を関連付ける明示的公式が導出された。
• 曲線$y^3 = (x^2 - 1)(x^4 - \alpha x^2 + 1)$のパラメータ$\alpha$は、特定の周期積分におけるシータ関数の比の積として表現される。
• 補題7の手法により、除数類とシータ関数を比較することで分岐点の表現が可能であるが、積分の記号的評価は依然として困難である。
• 本稿では、シータ関数と記号計算を用いた、高種数の巡回曲線に対する周期写像の逆写像を可能にする一般的アルゴリズムフレームワークを提供する。
• 種数2および種数3の一部の結果は既に[15]に発表済みであるが、本研究はそれらを種数4に拡張し、非双曲的ケースに対しても新たな明示的公式を提供する。