[論文レビュー] Thick coverings for the unit ball of a Banach space

Jesús M. F. Castillo, Pier Luigi Papini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、すべての $ 1 \leq p < \infty $ に対して、Whitleyの厚さ定数 $ T(L_p[0,1]) = 2^{1/p} $ を計算し、$ L_p $-空間およびBanach空間の $ \ell_p $-積が厚さ定数 $ 2^{1/p} $ を持つことを確立する。この結果は、Clarksonの不等式およびHannerの不等式を用い、単位球面上の有限ネットを用いた被覆議論と、$ \ell_p $-積との双対性を組み合わせることで得られ、古典的 $ L_p $-空間における $ T(X) $ の既知の値に長年の空白を解消する。

ABSTRACT

We study the behaviour of Whitley's thickness constant of a Banach space with respect to $\ell_p$-products and we compute it for classical $L_p$-spaces.

研究の動機と目的

• 古典的 $ L_p[0,1] $-空間におけるWhitleyの厚さ定数 $ T(X) $ を計算すること、これは $ p > 1 $ の場合に未解決であった。
• 既知の $ T(X) $ の値をBanach空間の $ \ell_p $-積へ拡張し、それらの厚さ定数を特定すること。
• $ \ell_p $-積における $ T(X) $ の振る舞いを調べ、一様凸性や非正方形性などの幾何的性質と関連付けること。
• $ T(X) $ と再ノルム化の関係を調べること、特に $ \ell_\infty $、$ c_0 $、$ \ell_1 $ のような空間において、$ T(X) = T(X^{**}) $ が成り立つかどうかを検討すること。

提案手法

• 無限次元空間においてWhitleyの元々の定義と同値である、$ T(X) = \inf\{\varepsilon > 0 : \text{ある有限 } \varepsilon\text{-ネットが } S_X \text{ で } B_X \text{ を被覆する}\} $ の形式を用いる。
• $ 1 \leq p \leq 2 $ に対してClarksonの不等式を適用する：$ \|f+g\|^q + \|f-g\|^q \leq 2(\|f\|^p + \|g\|^p)^{q/p} $ で $ 1/p + 1/q = 1 $ とし、$ \min\{\|f+f_0\|, \|f-f_0\|\} \leq 2^{1/p} $ を評価する。
• $ p \geq 2 $ に対してHannerの不等式を用いる：$ \|f+g\|^p + \|f-g\|^p \leq (\|f\| + \|g\|)^p + |\|f\| - \|g\||^p $ で、$ L_p $-空間における被覆ノルムを推定する。
• 二進区間上の特性関数を用いて、$ L_p[0,1] $ の単位球面上に有限 $ \varepsilon $-ネットを構成し、積分の絶対連続性を用いて、$ \varepsilon < 2^{1/p} $ のときには、$ B_X $ を被覆する有限ネットが存在しないことを示す。
• $ \ell_p $-積 $ Z = \ell_p \oplus_p Y $ を分析する際、要素 $ z = (x,y) $ を分解し、ノルム $ \|z\|_Z^p = \|x\|_{\ell_p}^p + \|y\|_Y^p $ を用い、対称的ネットと距離推定を用いて $ T(Z) = 2^{1/p} $ を証明する。
• 添字選択に基づく被覆議論を用いる：任意の有限ネットに対して、すべてのネット点が小さな $ j $-成分を持つ標準基底ベクトル $ e_j $ が存在し、$ (e_j, 0) $ からの距離に下界が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ 1 < p < \infty $ に対して、$ T(L_p[0,1]) $ の値は何か、既に $ T(L_1[0,1]) = 2 $ であることが分かっているが。
• RQ2 $ \ell_p $-積の下での厚さ定数 $ T(X) $ はどのように振る舞うか、特に $ \ell_p \oplus_p Y $ の場合。
• RQ3 $ X $ が $ \ell_p $ のような既知の空間であるとき、$ \ell_p $-積における $ T(X) $ が保存されたり計算されたりできるか。
• RQ4 $ T(X) = 2^{1/p} $ を満たすBanach空間の幾何的または等長的特徴づけは存在するか。
• RQ5 すべてのBanach空間、特に $ L_p $-空間に対して $ T(X) = T(X^{**}) $ が成り立つか。

主な発見

• すべての $ 1 \leq p < \infty $ に対して、$ L_p[0,1] $ の厚さ定数は $ T(L_p[0,1]) = 2^{1/p} $ である。これは $ p > 1 $ の場合に未解決であった値を解消する。
• $ 1 \leq p \leq 2 $ の場合、Clarksonの不等式を用いて上界 $ T(L_p) \leq 2^{1/p} $ が得られ、任意の $ f \in S_X $ に対して $ \min\{\|f + f_0\|, \|f - f_0\|\} \leq 2^{1/p} $ が成り立つことを示す。
• $ p \geq 2 $ の場合、関数 $ f = \chi(A)/(\mu(A))^{1/p} $ を構成することで下界 $ T(L_p) \geq 2^{1/p} $ が確立され、$ \|f - f_i\|^p > 1 - \varepsilon^p + (1 - \varepsilon)^p $ が成り立ち、極限において $ T(L_p) \geq 2^{1/p} $ が得られる。
• $ \ell_p $-積 $ Z = \ell_p \oplus_p Y $ の厚さ定数は $ T(Z) = 2^{1/p} $ である。2点ネット $ \{(e_1, 0), (-e_1, 0)\} $ を構成し、$ B_Z $ を $ 2^{1/p} $ 以内に被覆できることを示すことで証明される。
• $ S_Z $ に存在する任意の有限ネットに対して、標準基底ベクトル $ e_j $ が存在し、$ \|z_j - z_i\|_Z^p \geq \|x_i\|_{\ell_p}^p + \|y_i\|_Y^p - \varepsilon^p + (1 - \varepsilon)^p $ が成り立ち、極限において $ T(Z) \geq 2^{1/p} $ が得られる。
• 本稿は、$ \ell_p $-積および $ L_p $-空間に対して $ T(X) = 2^{1/p} $ であることを示しており、類似した局所等長的構造を持つ空間が同じ厚さ定数を持つ可能性を示唆している。