[論文レビュー] Thick morphisms, higher Koszul brackets, and $L_{\infty}$-algebroids

H. M. Khudaverdian, Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、超多様体の厚い写像を用いて構成された$L_{\infty}$-写像を介して、ホモトピー・ポアソン構造における微分形式上に無限個の高次コーシュル括弧を導入することにより、古典的ポアソン幾何学のホモトピー版を確立する。主な結果は、これらの高次括弧がBV型作用素の古典的極限として生じることであり、そのマスター・ハミルトニアンは作用素の主記号に正確に一致する。これにより、古典的コーシュル–ショウテン対応が$L_{\infty}$-設定へ一般化される。

ABSTRACT

It is a classical fact in Poisson geometry that the cotangent bundle of a Poisson manifold has the structure of a Lie algebroid. Manifestations of this structure are the Lichnerowicz differential on multivector fields (calculating Poisson cohomology) and the Koszul bracket of differential forms. "Raising indices" by the Poisson tensor maps the de Rham differential to the Lichnerowicz differential and the Koszul bracket to the Schouten bracket. In this paper, we present a homotopy analog of the above results. When an ordinary Poisson structure is replaced by a homotopy one, instead of a single Koszul bracket there arises an infinite sequence of "higher Koszul brackets" defining an $L_{\infty}$-algebra structure on forms (Khudaverdian--Voronov arXiv:0808.3406). We show how to construct a non-linear transformation, which is an $L_{\infty}$-morphism, from this $L_{\infty}$-algebra to the Lie superalgebra of multivector fields with the canonical Schouten bracket. This is done by using the new notion of "thick morphisms" of supermanifolds recently introduced (see arXiv:1409.6475 and arXiv:1411.6720).

研究の動機と目的

• ホモトピー・ポアソン構造の設定において、de Rham微分とリヒネロヴィッチ微分の間の古典的コーシュル–ショウテン対応を一般化すること。
• 高次コーシュル括弧を備えた微分形式の$L_{\infty}$-代数から、多重ベクトル場のリー超代数（ショウテン括弧を伴う）への$L_{\infty}$-写像を構成すること。
• 古典的「インデックスの上げ」写像$P^\sharp$を非線形的かつホモトピー的整合性を持つ設定へ拡張する、超多様体の厚い写像の新フレームワークを用いて、この写像を実現すること。
• 高次コーシュル括弧が、$\Delta = [d, \hat{P}]$というBV型作用素から導かれることを示し、作用素の主記号が高次括弧のマスター・ハミルトニアンに一致することを示すこと。
• 生成関数を双対化されたアンカー写像と解釈することにより、$L_{\infty}$-代数への幾何的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 論文は、先行研究で導入された超多様体の厚い写像の概念を用い、$\Pi T^*M$と$\Pi TM$上の関数代数の間の非線形写像を定義し、線形写像$P^\sharp$を一般化する。
• 厚い写像の生成関数として$S(x,x^*;p,\pi) = x^a p_a + \frac{\partial P}{\partial x^*_a}(x,x^*) \pi_a$を構成し、その双対$S^*$を用いて関数の引き戻しを定義する。
• 高次コーシュル括弧は、$\Delta = [d, \hat{P}]$および$\hat{P} = P(x, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial dx})$を用いた、繰り返しの交換子$[\cdots[\Delta, \omega_1], \cdots, \omega_k](1)$の古典的極限$\hbar \to 0$として実現される。
• 作用素$\Delta$の主記号は、公式$H = \lim_{\hbar \to 0} e^{-\frac{i}{\hbar}(xp + dx\pi)} \Delta(e^{\frac{i}{\hbar}(xp + dx\pi)})$により計算され、マスター・ハミルトニアン$dx^a \frac{\partial P}{\partial x^a}(x,\pi) + (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial \pi_a} p_a$が得られる。
• このハミルトニアンが、先行研究で定義された高次コーシュル括弧のマスター・ハミルトニアンと完全に一致することが示され、構成の整合性が確認される。
• アンカー写像は生成関数$S$から導出され、$a_P: \Pi T^*M \to \Pi TM$は$x^a \mapsto x^a$, $dx^a = (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial x^*_a}$で与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Rham微分とリヒネロヴィッチ微分の間の古典的コーシュル–ショウテン対応を、ホモトピー・ポアソン構造へどのように一般化できるか。
• RQ2 厚い写像が、高次コーシュル括弧を備えた微分形式の$L_{\infty}$-代数と、ショウテン括弧を備えた多重ベクトル場のリー超代数との間の$L_{\infty}$-写像を実現する役割を果たすか。
• RQ3 BV型作用素$\Delta = [d, \hat{P}]$が、$\hbar \to 0$の古典的極限によって、高次コーシュル括弧の全系列を生成できるか。
• RQ4 作用素$\Delta$の主記号と、高次コーシュル括弧のマスター・ハミルトニアンとの関係は何か。
• RQ5 生成関数$S$の幾何的意味は、$L_{\infty}$-代数のアンカー写像に関してどのように解釈できるか。

主な発見

• ホモトピー・ポアソン構造における微分形式上の高次コーシュル括弧は、$\hat{P}$がポアソンテンソル$P$から構成されるBV型作用素$\Delta = [d, \hat{P}]$との繰り返し交換子の古典的極限$\hbar \to 0$として実現される。
• $\hbar \to 0$極限における$\Delta$の主記号は$dx^a \frac{\partial P}{\partial x^a}(x,\pi) + (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial \pi_a} p_a$であり、これは先行研究で定義された高次コーシュル括弧のマスター・ハミルトニアンと正確に一致する。
• $L_{\infty}$-写像は、生成関数$S(x,x^*;p,\pi) = x^a p_a + \frac{\partial P}{\partial x^*_a}(x,x^*) \pi_a$を用いた厚い写像により構成され、古典的$P^\sharp$写像を一般化する。
• $L_{\infty}$-代数のアンカー写像は$a_P(x^a, x^*_a) = (x^a, (-1)^{\tilde{a}} \frac{\partial P}{\partial x^*_a})$で与えられ、構造の幾何的起源を示している。
• この構成により、古典的コーシュル–ショウテン対応を$L_{\infty}$-設定へ体系的に拡張する方法が得られ、高次括弧の全階層が$\Pi T^*M$のゼロ切断まわりの$P$の形式的べき級数展開に符号化されている。
• このフレームワークは$\hbar$-変形形式論と整合性があり、高次括弧は形式的微分作用素の古典的極限として現れ、擬微分作用素理論における記号写像に類似している。