[論文レビュー] Thick subsets that do not contain arithmetic progressions

Kevin O’Bryant|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$k$-項等差数列（AP）を含まない任意の有限集合における大きな部分集合を見つけるために、Behrend型の構成を一般化する。特に、平方数やランダム集合といった構造的集合に対して、その相対的密度の下界を確立し、APが少ない集合でさえも、正の相対的密度を持つ$ k $-APを含まない部分集合が存在することを示す。また、存在する$ D $-進化型の数の数に依存する明示的な指数型の下界を導出する。

ABSTRACT

We adapt the construction of subsets of {1, 2, ..., N} that contain no k-term arithmetic progressions to give a relatively thick subset of an arbitrary set of N integers. Particular examples include a thick subset of {1, 4, 9, ..., N^2} that does not contain a 3-term AP, and a positive relative density subset of a random set (contained in {1, 2, ..., n} and having density c n^{-1/(k-1)}) that is free of k-term APs.

研究の動機と目的

• 区間 $[N]$ からの$ k $-APを含まない集合のBehrend型構成を、任意の有限集合 $\mathscr{N} \subseteq \mathbb{Z}$ に拡張すること。特に、$ k $-項等差数列が少ない集合に対して。
• 特定の$ D $-進化型の数の数が限られている集合における$ k $-APを含まない部分集合のサイズに対する定量的下界を確立すること。例として、平方数や $\{1,\dots,n\}$ のランダム部分集合が挙げられる。
• APが比較的少ない集合であっても、正の相対的密度を持つ$ k $-APを含まない部分集合が存在することを示し、このような集合はスパarsであるはずだとする直観に反することを明らかにすること。
• $ D $-進化型（低次の多項式で定義される数列）の概念を形式化し、その「型」を定義することで、与えられた集合内でのこのような構成の数を制御すること。
• 極値的配置に関する未解決の問題を解決し、区間 $[N]$ が $ r_{k,D}(\mathscr{N}) $ を最小化するとは限らないことを示し、完全数のべきの集合における$ k $-項$ D $-進化型の存在を調べること。

提案手法

• Behrend法の多項式に基づく構成を、任意の有限集合 $\mathscr{N}$ に適応し、$ D $-進化型の数の種類数 $\operatorname{Type}_{k,D}(\mathscr{N})$ を主要なパラメータとして用いる。
• $ D $-進化型を、$(D+1)$-番目の差分が消える数列として定義し、補間多項式の次数と先頭係数によってその「型」を定義する。
• 確率論的および幾何的手法を用いる：多項式数列の確率的摂動を構成し、ランダムなシフトが特定のアニュラ領域内の格子点を避ける確率を評価する。
• $ d $次元空間における体積推定を用い、ランダムシフトが$ D $-進化型が完成する領域に当たる確率を抑え、トーラス $\mathbb{R}^d / \mathbb{Z}^d$ の幾何的性質を活用する。
• 体積の推定を用いて、$ r_{k,D}(\mathscr{N})/N $ の下界を導出し、$ d $ を $ \log \Psi(N) $ と $ D $ の関数として選ぶ。
• 先行研究（例：[OBryant]）からの再帰的推定と組み合わせ、$\exp(-n2^{(n-1)/2}D^{(n-1)/n}\sqrt[n]{\log \Psi(N)} + \frac{1}{2n}\log\log \Psi(N))$ を含む最終的な下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限集合 $\mathscr{N} \subseteq \mathbb{Z}$ において、$ k $-項等差数列を含まない大きな部分集合を構成可能か。特に、$\mathscr{N}$ にそのような数列が少ない場合に。
• RQ2 平方数の集合における$ k $-APを含まない部分集合の最大相対的密度は何か。また、正の相対的密度を持つような部分集合は存在するか。
• RQ3 $\{1,\dots,n\}$ のランダム部分集合（密度 $cn^{-1/(k-1)}$）に対して、高確率で正の相対的密度を持つ$ k $-APを含まない部分集合が存在するか。
• RQ4 固定された $ k,D,N $ に対して、どの集合 $\mathscr{N} $ が $ r_{k,D}(\mathscr{N}) $ を最小化するか。区間 $[N]$ はこの意味で極値的か。
• RQ5 完全 $ p $-乗数の集合において、$ k $-項$ D $-進化型が存在する条件は何か。また、そのような進化型の異なる「型」は最大で何種類存在できるか。

主な発見

• 任意の $ N $ に対して、$\{1,4,9,\dots,N^2\}$ の部分集合で、3項等差数列を含まず、サイズが $ C \cdot N \cdot \exp\big(-2\sqrt{2}\sqrt{\log\log N} + \frac{1}{4}\log\log\log N\big)$ 以上であるものが存在する。ここで $ C > 0 $ は絶対定数。
• 任意の $\mathscr{N} \subseteq \mathbb{Z}$ で $|\mathscr{N}| = N $ かつ $\operatorname{Type}_{k,D}(\mathscr{N}) \leq N\Psi(N)$ を満たす場合、$ k $-APを含まない部分集合の相対的密度は $ r_{k,D}(\mathscr{N})/N \geq C \exp\big(-n2^{(n-1)/2}D^{(n-1)/n}\sqrt[n]{\log \Psi(N)} + \frac{1}{2n}\log\log \Psi(N)\big)$ を満たす。ここで $ C = C(k,D,\Psi) $。
• 密度 $cn^{-1/(k-1)}$ の $\{1,\dots,n\}$ のランダム部分集合 $\mathscr{N} $ に対して、十分大きな $ n $ に対して高確率で、相対的密度が $ \delta > 0 $ 以上の$ k $-APを含まない部分集合が存在する。任意の $ \delta < 1 $ に対して成立する。
• この構成により、$ k $-APが比較的少ない集合（例：$ \Psi(N) $ 種類の$ D $-進化型）であっても、$ k $-APを含まない部分集合のサイズに対して非自明な下界が得られることを示し、自明な下界を著しく改善する。
• この方法により、区間 $[N]$ がすべての $ N $-要素集合の中で $ r_{k,D}(\mathscr{N}) $ を最小化するとは限らないことが示され、構造的またはスパarsな集合の方が区間よりも大きな$ k $-APを含まない部分集合を許容する可能性があることが示唆される。
• 本論文は、完全数のべきの集合における$ k $-項$ D $-進化型を分析するためのフレームワークを提供する。また、立方数に4項2進化型（例：$ 3^3, 16^3, 22^3, 27^3 $）が存在することは示しているが、一般の存在性および型の数は未解決のままである。