[論文レビュー] Thick-thin Decomposition of Floer Trajectories and Adiabatic Gluing

Yong‐Geun Oh, Ke Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、勾配セグメントが正の長さを持つフローレ・トラジェクトリにアディアバティック・グルーリング技法を拡張し、1次元勾配フローと2次元 J-正則曲線を、異なる収束速度で組み合わせる。ドメイン・フロー・ドメイン構成から解消されたトラジェクトリへの直接グルーリングを確立し、PSS写像の同型性の新しい証明を提示するとともに、低次元の場合のパール複体と J-正則多角形のモジュライ空間の同値性を示している。

ABSTRACT

This is a sequel to [OZ1] in which we studied the adiabatic degeneration of Floer trajectories to disk-flow-disk configurations and the recovering gluing, where the gradient flow part had length 0. In the present paper we study the case when the gradient flow part has a positive length. Unlike the standard gluing problem, we study the problem of gluing 1-dimensional gradient segments and 2-dimensional (perturbed) J-holomorphic curves. The two also have different convergence rates near the ends: linear convergence for the finite gradient segments and exponential convergence for J-holomorphic maps. As an immediate application, we outline the proof that when a finite number of Hamiltonian deformations of a non-exact Lagrangian submanifold collapse simultaneously, the pearl complex moduli spaces used in [BC] are diffeomorphic to the J-holomorphic polygon moduli spaces in [FOOO] provided the dimension of the moduli spaces is sufficiently small. This is enough to prove that the A_{\infty}-structures appearing in the two pictures are isomorphic to each other. The main gluing theorem also provides another proof of the isomorphism property of PSS map which is different from that of [OZ1]: It bypasses the nodal Floer trajectories by going directly from disk-flow-disk configurations to resolved Floer trajectories.

研究の動機と目的

• 勾配フロー・セグメントの長さがゼロでないフローレ・トラジェクトリへのアディアバティック・グルーリングの一般化を図ること。
• 1次元勾配セグメント（線形収束）と2次元 J-正則曲線（指数的収束）を1つのグルーリング枠組みに統合する課題に対処すること。
• ノード付きトラジェクトリを経由せずに、ドメイン・フロー・ドメイン構成から解消されたフローレ・トラジェクトリへの直接的グルーリング構成を提供すること。
• 次元制約下で、パール複体のモジュライ空間と J-正則多角形のモジュライ空間との微分同相性を確立すること。
• ノード付きトラジェクトリの解析に依存しない、PSS写像の同型性の別証明を提供すること。

提案手法

• 有限な勾配セグメント（ヘビー）と J-正則曲線（スリム）に分けるためのフローレ・トラジェクトリの分厚さ・薄さ分解を導入する。
• 漸近的解析を用いて、勾配セグメントの線形収束と J-正則写像の指数的収束の違いを処理する。
• ドメイン・フロー・ドメイン構成から滑らかな解消されたトラジェクトリへと滑らかに変換するパラメータ化グルーリング写像を構成する。
• 重み付きソボレフ空間の枠組みで陰関数定理の技法を適用し、結合系のグルーリング方程式を解く。
• 次元が小さいという仮定を用いて、横断性とモジュライ空間間の微分同相性を保証する。
• グルーリング結果を活用し、パール複体から生じる A∞-構造と、正則多角形の構成から生じる A∞-構造を直接比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アディアバティック・グルーリングは、非ゼロの勾配フロー・セグメントを持つフローレ・トラジェクトリにどのように拡張可能か？
• RQ2 勾配セグメントと J-正則曲線の間で収束速度が不一致する場合に適切な解析的枠組みは何か？
• RQ3 ノード付き極限を経由せずに、ドメイン・フロー・ドメイン構成から解消されたトラジェクトリへの直接的グルーリングを構成可能か？
• RQ4 パール複体のモジュライ空間と J-正則多角形のモジュライ空間が微分同相になる条件は何か？
• RQ5 ノード付きフローレ・トラジェクトリに依存せずに、PSS写像の同型性を証明可能か？

主な発見

• 正の長さの勾配セグメントを有するフローレ・トラジェクトリに対する新しいグルーリング定理が確立され、1次元と2次元の成分を、異なる収束性をもって統合している。
• モジュライ空間の次元が十分に小さい場合、パール複体のモジュライ空間と J-正則多角形のモジュライ空間が微分同相であることが示された。
• 同じ次元制約下で、パール複体から生じる A∞-構造と J-正則多角形から生じる A∞-構造は同型である。
• ノード付きフローレ・トラジェクトリを経由せずに、PSS写像の同型性の直接的構成が達成され、[OZ1] の方法とは別個の証明が可能となった。
• 分厚さ・薄さ分解により、アディアバティック分岐設定における混合長さのフローレ・トラジェクトリの体系的取り扱いが可能になった。
• 解析的枠組みは、グルーリング過程における線形収束と指数的収束の相互作用を効果的に処理できた。