[論文レビュー] Thickness Formula and C^1-Compactness for C^{1,1} Riemannian Submanifolds

Oguz C. Durumeric|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$C^{1,1}$ リーマン多様体部分多様体の厚さに関する公式を確立し、法線的正則性半径 $i(K,M)$ が幾何的焦点距離と二重臨界測地線の最短長の半分の最小値に等しいことを証明する。さらに、厚さが0から離れている場合の $C^1$-コンパクト性を示し、その制約下で微分同相型および同倫型が有限個存在することを示し、$ \mathbf{R}^n$ 内で明示的な上界を構成可能である。これにより、理想結び目およびねじれポリマーの研究に基礎的枠組みが提供される。

ABSTRACT

We prove a formula for the normal injectivity radius(thickness)i(K,M)for C^{1,1} compact submanifolds K^k of complete Riemannian manifolds M^n in terms of geometric focal distance and double critical points. We also prove the C^1 compactness of the set of all compact submanifolds K contained in a compact subset D of a fixed manifold M with i(K,M) bounded away from 0. This is an extrinsic and isometric embeddindg type theorem related to Gromov's compactness theorem. This yields the existence of thickest submanifolds in an isotopy class where K is not necessarily connected.

研究の動機と目的

• $C^{1,1}$ 部分多様体に対して、メトリック球を用いた幾何的焦点距離を定義・分析すること。
• $i(K,M)$ の法線的正則性半径について、幾何的焦点距離および二重臨界測地線を用いた公式を導出すること。
• 固定されたコンパクト部分集合 $D\subset M$ 内に含まれ、$i(K,M)\geq c>0$ を満たす $C^{1,1}$ 部分多様体のクラスについて、$C^1$-コンパクト性を証明すること。
• 特に $ \mathbf{R}^n$ 内で、このような部分多様体の微分同相型および同倫型の数に明示的な上界を確立すること。
• 厚さ最大化を用いた理想結び目およびねじれポリマーの研究の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• メトリック球が $K$ に接し、交差をもたないようなものの半径の下界として幾何的焦点距離 $F_g(K)$ を定義する。
• 両端点で $K$ に直交する測地線の中で最短のものを二重臨界測地線長 $MDC(K)$ として定義する。
• $K$ と交わらず、$K$ に接する開メトリック球の最大半径としてローリングボール半径 $R_O(K,M)$ を定義する。
• $C^{1,1}$ 範囲における法線指数写像およびメトリック幾何の解析を通じて、$i(K,M) = \min\{F_g(K), \frac{1}{2}MDC(K)\}$ を証明する。
• 正規座標または調和座標における体積比較および被覆論法を用いて、$D_\varepsilon$ の最小被覆のメッシュサイズ $\rho$ を推定し、同倫型の数を制限する。
• アンビエント空間 $\mathbf{R}^n$ をスケーリングして厚さを1に正規化し、体積および自己写像半径の推定を用いて明示的な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なリーマン多様体 $M$ 内のコンパクトな $C^{1,1}$ 部分多様体 $K$ の法線的正則性半径 $i(K,M)$ の正確な公式は何か？
• RQ2 $C^{1,1}$ 範囲において、幾何的焦点距離は厚さおよび二重臨界測地線とどのように関係するか？
• RQ3 厚さが $c>0$ で下から有界であり、固定されたコンパクト集合 $D\subset M$ 内に含まれる $C^{1,1}$ 部分多様体の集合は $C^1$-コンパクトか？
• RQ4 これらの部分多様体の同倫型および微分同相型の数は、多様体 $M$ の幾何的不変量の関数として一様に有界にできるか？
• RQ5 $ \mathbf{R}^n$ 内で、このような型の数に明示的な上界は存在するか？

主な発見

• 任意のコンパクトな $C^{1,1}$ 部分多様体 $K$ と完全なリーマン多様体 $M$ に対して、法線的正則性半径は $i(K,M) = \min\{F_g(K), \frac{1}{2}MDC(K)\}$ を満たす。
• $i(K,M)\geq \varepsilon>0$ を満たす $C^{1,1}$ 部分多様体 $K\subset D\subset M$ の集合は $C^1$-コンパクトであり、$C^1$ 位相における逐次収束が保証される。
• これらの部分多様体の微分同相型および同倫型の数は、$2^{\Lambda_0}$ 以下である。ここで $\Lambda_0 \leq \left(\frac{4R}{\rho}\right)^n$ であり、$R = r/\varepsilon$ としてスケーリング後に得られる。
• $ \mathbf{R}^n$ 内では、このような型の数は $2^{(16R/i_0)^n}$ で上から抑えられる。ここで $i_0 \geq \pi$ は $k=1$ の場合、$i_0 \geq e^{-\frac{n}{2}(8R)^n}$ は $k\geq 2$ の場合であり、体積および曲率の上限に依存する。
• $k=1$（曲線）の場合、$\rho = \frac{1}{8}$ であり、$k\geq 2$ の場合、$\rho = \frac{i_0}{4}$ である。$i_0$ は体積および自己写像半径に依存する関数で下から有界である。
• 上界は体積推定および曲率制御被覆数に依存し、$\varepsilon$、$n$、$k$、および $D_\varepsilon$ の内在的幾何に依存する。