[論文レビュー] Thin circulant matrices and lower bounds on the complexity of some Boolean operators

M. I. Grinchuk, I. S. Sergeev|ArXiv.org|Jan 30, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$(k,l)$-自由なブール巡回行列の重みに関する新たな下界を確立し、$Ω\left(\frac{k+l}{k^{2}l^{2}}N^{2-\frac{k+l+2}{kl}}\right)$ を導出する。これにより、ブール畳み込みおよび関連するシステムの単調回路複雑度に対する改善された下界が得られる。手法は、極値組合せ論と、長方形構造および$\mathbb{R}$上の線形代数を用いた確率的構成を組み合わせており、単調回路によるブール畳み込みの計算の複雑度は$\Omega(N^2 \log^{-6}N)$ である。

ABSTRACT

We prove a lower bound $Ω\left(\frac{k+l}{k^2l^2}N^{2-\frac{k+l+2}{kl}} ight)$ on the maximal possible weight of a $(k,l)$-free (that is, free of all-ones $k imes l$ submatrices) Boolean circulant $N imes N$ matrix. The bound is close to the known bound for the class of all $(k,l)$-free matrices. As a consequence, we obtain new bounds for several complexity measures of Boolean sums' systems and a lower bound $Ω(N^2\log^{-6} N)$ on the monotone complexity of the Boolean convolution of order $N$.

研究の動機と目的

• $(k,l)$-自由なブール巡回行列の最大重みに関するより緊密な下界を確立すること。
• ブール畳み込みおよびブール和系の単調回路複雑度に関する改善された下界を導出すること。
• 巡回行列の構成を通じて、Zarankiewicz問題と回路複雑度を結びつけること。
• 既存の文献における単調回路複雑度の境界を改善すること。

提案手法

• 相異なる$x_i$および$y_j$値を持つ$k+l$-組として長方形を定義し、その和集合のサイズ$m(E)$を分析する。
• 線形代数を用いて方程式$x_r + y_s = x_u + y_v$の解空間$T_E$を定義し、次元$n(E)$を求める。
• 補題1を適用して、$C(E) \cap \{0,\dots,N-1\}^{k+l}$ に含まれる整数長方形の数を$N^{n(E)}$ で上界付ける。
• 補題2を用いて、固定された$n(E)$ に対して、$C(E)$ の同値類の数を二項係数の推定に依存して上界付ける。
• 確率的技法を適用する：巡回行列の要素にランダムに値を割り当て、$k \times l$ のすべてが1の部分行列を含む確率を制御する。
• $p = \left(\frac{k+l}{ek^2l^2}\right)N^{-\rho(k,l)}$ を設定して、悪い長方形の期待数を制御し、高確率で$(k,l)$-自由な行列が得られることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(k,l)$-自由な$N \times N$ ブール巡回行列の最大重みは何か？
• RQ2 巡回行列の構造は、ブール和系の複雑度にどのように影響するか？
• RQ3 極値行列構成から、単調回路複雑度の改善された下界を導出可能か？
• RQ4 Zarankiewicz問題と単調設定における回路複雑度の関係は何か？
• RQ5 ブール畳み込みの複雑度は、既知の上界および下界と比べてどうか？

主な発見

• $\Omega\left(\frac{k+l}{k^2l^2}N^{2 - \frac{k+l+2}{kl}}\right)$ の重みを持つ$(k,l)$-自由な$N \times N$ 巡回行列が存在する。
• $k = l = \Theta(\log N)$ の場合、行列の重みは$\Omega(N^2 \log^{-3}N)$ である。
• ブール畳み込みの単調回路複雑度は$\Omega(N^2 \log^{-6}N)$ であり、特に$\{\vee,\wedge\}$-回路における論理和素子の数について成り立つ。
• 深さ2のレクチファイア回路によるブール和系の複雑度は$\Omega(N^2 \log^{-4}N)$ である。
• 比$\lambda(N) = \Omega\left(\frac{N}{(\log N)^6 \log \log N}\right)$ が成り立ち、既存の境界を改善する。
• 下界$\Omega(N^2 \log^{-6}N)$ は、自明な$O(N^2)$ 上界に近く、単調複雑度に対する強い下界を示している。