[論文レビュー] Thin-Torus Limit of Fractional Topological Insulators

B. Andrei Bernevig, Nicolas Regnault|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Topological Materials and Phenomena被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、フラットバンドと局所的 Hubbard 型相互作用を持つ一次元格子模型を用いて、分数カルン絶縁体（FCI）の細いトーラス極限を調べる。多体スペクトルを厳密に解くことで、ゼロエネルギー状態が一般化されたパウリ排他原理に従う密度波状態（CDW）であることを示し、エンタングルメントスペクトルがトポロジカル FCI 状態と自明な CDW 状態を区別できることを示している。これは真の分数トポロジカル秩序を同定するための重要な診断ツールを提供する。

ABSTRACT

We analytically and numerically analyze the one-dimensional "thin-torus" limit of Fractional Topological Insulators in a series of simple models exhibiting exactly flat bands with local hopping. These models are the one-dimensional limit of two dimensional Chern Insulators, and the Hubbard-type interactions projected into their lowest band take particularly simple forms. By exactly solving the many-body interacting spectrum of these models, we show that, just like in the Fractional Quantum Hall effect, the zero modes of the thin-torus limit are CDW states of occupation numbers satisfying generalized Pauli principles. As opposed to the FQH where the thin-torus CDW appear in orbital space, in the thin-torus FCI states, the CDW states are in real-space. We show the counting of the quasihole excitations in the energy spectrum cannot distinguish between a CDW state and a FQH state. However, by exactly computing the entanglement spectrum for the thin-torus states, we show that it can qualitatively and quantitatively distinguish between a CDW and a fractional topological state such as the FCI. We then discover a previously unknown separation of energy scales of the full FQH energy spectrum in the thin torus limit and find that Chern insulator models exhibiting strong isotropic FCI states have a similar structure in their thin-torus limit spectrum. We close by numerically computing the evolution of energy and entanglement spectra from the thin-torus to the isotropic limit. Our results can also be interpreted as an analysis of one-body, 1-dimensional topological insulators stabilized by inversion symmetry in the presence of interactions.

研究の動機と目的

• FCI の基底状態および励起状態の性質を、1次元に縮小された細いトーラス極限（$N_x = 1$）において理解すること。
• 局所的相互作用によって生じる実空間における CDW 状態が、磁場のない状況下でも分数量子ホール（FQH）状態で観察される準粒子励起の数え上げを模倣できるかどうかを検証すること。
• エンタングルメントスペクトルが、細いトーラス極限におけるトポロジカル FCI 状態と自明な CDW 状態を区別できるかどうかを調査すること。
• 等方的極限における安定な FCI 状態の出現を示唆する、細いトーラススペクトル内でのエネルギースケール分離を同定すること。
• 局所的相互作用およびバンド構造が、一次元反転対称性を持つ相互作用系におけるトポロジカル秩序の安定化に果たす役割を明らかにすること。

提案手法

• 2次元格子を $N_x = 1$ の一次元鎖に縮小し、周期的境界条件を適用することで細いトーラス極限を定義する。
• 有限範囲の hopping を持つ1体ハミルトニアンを構築し、等方的極限において正確にフラットバンドと非ゼロのカルン数を実現する。
• ハミルトニアンを最低フラットバンドに射影することで、結合の $n$-重化長に対応する有効な相互作用を導出する。
• フラットバンド内での相互作用ハミルトニアンを厳密に対角化し、全多体エネルギースペクトルを求める。
• スレイター行列式が満たす一般化されたパウリ排他原理（例：(1,3)、(1,2)、(1,1) 原理）に基づいてエネルギースペクトルの構造を分析する。
• デゲネレート基底状態多様体のエンタングルメントスペクトルを解析的に計算し、等方的極限における FCI 状態と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁場が存在しないにもかかわらず、FCI の細いトーラス極限が、分数量子ホール効果と同等の準粒子励起の数え上げを再現できるか？
• RQ2 細いトーラス極限における局所的相互作用から生じる実空間の CDW 状態が、FCI 状態と同等の基底状態の degeneracy と準粒子励起構造を示すか？
• RQ3 エンタングルメントスペクトルが、細いトーラス極限におけるトポロジカル FCI 状態と自明な CDW 状態を区別できるか？
• RQ4 細いトーラススペクトル内でのどのエネルギースケール分離が、現実的なモデルにおける等方的 FCI 状態の安定性と相関するか？
• RQ5 局所的相互作用とフラットバンド波動関数の実空間的構造との相乗作用が、どのようにトポロジカル秩序の出現を決定づけるか？

主な発見

• 細いトーラス極限において、相互作用のある FCI の基底状態は、実空間における CDW 状態であり、1/3 填充のラウフリン型状態に対して (1,3) 原理など一般化されたパウリ排他原理に従う占有数を持つ。
• エネルギースペクトルは明確なバンドに分離する：ゼロエネルギー帯は FCI 基底状態および準粒子励起に対応し、中央帯は (1,2) 状態に対応し、最高帯は (1,1) フェルミオン状態に対応する。
• 細いトーラス極限におけるゼロエネルギー状態の数え上げは、FQH 効果と一致しており、この数え上げだけではトポロジカル秩序と自明な CDW 秩序を区別できないことを示している。
• 細いトーラス極限における CDW 状態のエンタングルメントスペクトルは、等方的 FCI 状態とは定性的にも定量的にも顕著に異なり、明確な診断ツールを提供する。
• 数値的証拠により、細いトーラススペクトルに FQH 効果と類似したエネルギースケール分離が見られる場合、強い等方的 FCI 状態が出現することが示された。
• ハルダンモデルおよび2軌道モデルの両方において、特定の相互作用項（例：$V_1$）が含まれる場合にのみ、細いトーラス極限でこのエネルギースケール分離が観測され、(1,2) と (1,3) 状態間の簡約を解消する。