[論文レビュー] Think Locally, Act Globally: Perfectly Balanced Graph Partitioning

Peter Sanders, Christian Schulz|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2012

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、完全にバランスの取れたグラフ分割のための新しい局所探索フレームワークを提案する。このフレームワークは、負のサイクル検出を用いて複数のノード移動を統合し、バランスを維持する。KaFFPaEの多層的進化的アルゴリズムに統合された結果、多様なベンチマークにおいて98–99%の最良知られ結果を改善または再現した。

ABSTRACT

We present a novel local improvement scheme for the perfectly balanced graph partitioning problem. This scheme encodes local searches that are not restricted to a balance constraint into a model allowing us to find combinations of these searches maintaining balance by applying a negative cycle detection algorithm. We combine this technique with an algorithm to balance unbalanced solutions and integrate it into a parallel multi-level evolutionary algorithm, KaFFPaE, to tackle the problem. Overall, we obtain a system that is fast on the one hand and on the other hand is able to improve or reproduce most of the best known perfectly balanced partitioning results ever reported in the literature.

研究の動機と目的

• 特にノード1つあたりの計算負荷が高い小さなグラフにおいて、既存のグラフ分割ツールに完全なバランスの保証がないという問題に対処する。
• 2つのブロック間でのノード単位の交換に制限される伝統的な局所探索手法の限界を克服する。
• バランス制約に違反しない複雑でバランスの取れたノード移動の組み合わせを可能にするモデルを開発する。
• 並列的多層的進化的アルゴリズム（KaFFPaE）に新しい技術を統合し、高品質でバランスの取れた分割を効率的に達成する。
• Metis や Jostle や Scotch のような従来のソルバーとは異なり、出力分割に完全なバランスを保証することで、結果の妥当性と再現可能性を確保する。

提案手法

• ノードの移動を表す有向グラフとして局所探索の動きをモデル化し、ノードがブロックを表し、エッジが関連する利益を伴うノード転送を表す。
• このモデルにおける負のサイクル検出を用いて、カットサイズを削減しながら完全なバランスを維持する一連の調整されたノード移動を特定する。
• 複数のノード移動をサイクルとして符号化するフローに基づくモデルを構築し、ブロックサイズのネット変化がゼロになるように保証する。
• 負のサイクル検出を、サイクル検索を実行する前に不均衡な解を是正するバランス段階と統合する。
• 粗粒度並列処理と進化的戦略を用いて多様な解を探索するKaFFPaEの多層的フレームワークと技術を統合する。
• 短い経路（負の重みあり）や負のサイクル検出といった既存のアルゴリズムを活用し、拡張された解の近傍を効率的に探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一ノードの交換を越えた、複雑で調整されたノード移動を、完全なバランス制約下で体系的に符号化・探索することは可能か？
• RQ2 変換されたグラフモデルにおける負のサイクル検出は、カットサイズを削減する有益でバランスの取れたノード転送の組み合わせを効果的に同定できるか？
• RQ3 このモデルを多層的進化的アルゴリズムに統合した場合、完全にバランスの取れた分割における解の品質と実行時間にどのような影響を与えるか？
• RQ4 緩和された不均衡設定（例：ε = 1%）と比較して、完全なバランスを強制することは、カットサイズにどの程度悪影響を及えるか？
• RQ5 このフレームワークは、グラフおよびハイパーグラフ分割における他の制約付き局所探索問題へ一般化可能か？

主な発見

• 提案手法は、Walshawベンチマークにおいて、ε = 0（完全なバランス）では98%、ε = 1%では99%、ε = 3%では99%、ε = 5%では99%の最良知られ結果を改善または再現した。
• 平均して、完全なバランスを強制すると、ε = 1%の不均衡設定と比較してカットサイズが6%増加した。k=64におけるバランス段階と負のサイクルフェーズは、KaFFPaStrongの実行時間の163%を占めた。
• 本アルゴリズムは、Metis や Jostle や Scotch とは異なり、出力分割に完全なバランスを保証する。
• 実験の結果、一部の不均衡が許容される状況でも本手法が有効であることが示され、完全なバランスのケースに限らず広範な適用可能性を示している。
• 負のサイクル検出モデルは、従来の局所探索手法が見逃す複雑な複数ノード移動パターンを効果的に同定した。
• KaFFPaEへの統合により、妥当性の保証と優れた解品質を両立した高品質な解が、合理的な時間内に得られた。これは、品質と妥当性保証の両面で、従来の最先端ソルバーを上回った。