[論文レビュー] Third-order relativistic dynamics: classical spinning particle travelling in a plane

Roman Matsyuk|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3階微分を含む変分原理から、平面運動における古典的スピン粒子の相対論的力学を導出し、特殊相対性理論におけるスピン粒子のマティソンの「新 mechanics」が、相対論的不変性、3階微分、および変分的性質から自然に導かれることが示されている。主な結果は、ハミルトニアン形式がピラーニ補足条件の下でディクソン方程式を回復することであり、平面運動におけるスピン粒子の力学的記述を一貫したラグランジュ的およびハミルトニアン的枠組みで確立している。

ABSTRACT

Mathisson's 'new mechanics' of a relativistic spinning particle is shown to follow, in the case of planar motion, from only general requirements of relativistic invariance and of the dependence on third order derivatives along with the 'variationality' feature. The Hamiltonian counterpart ultimately recovers the Dixon system of equations for this case with the Mathisson-Pirani supplementary condition.

研究の動機と目的

• 3階微分を含む相対論的力学の変分的基礎を、平面内におけるスピン粒子の運動に確立すること。
• マティソンのスピン粒子に対する方程式が、一般原理（相対論的不変性、3階微分、変分的性質）から自然に導かれるかどうかを示すこと。
• ピラーニ補足条件の下で、ディクソン方程式と同等のハミルトニアン形式を構築すること。
• 2次元空間的次元における3階微分相対論的方程式の逆変分問題を解くこと。
• 平坦時空間内における相対論的スピン粒子の平面運動について、包括的なラグランジュ的およびハミルトニアン的記述を提供すること。

提案手法

• 変分計算の形式的理論を用い、3階微分方程式のラグランジュ関数の存在に関する必要十分条件を適用する。
• 動的系に基本的制約としてポincare不変性および相対論的不変性を課す。
• 3階微分を含む変分原理のオイラー＝ポisson方程式から、3階微分方程式の運動方程式を導出する。
• 文献[6]に提示された「ハミルトニアン化」手続きを用い、3階微分ラグランジュ関数をハミルトニアン系に変換する。
• ピラーニ補足条件 $\frak{u}_q \frak{S}^{pq} = 0$ を適用して、系を平面運動に還元し、ディクソン方程式を回復する。
• 正準運動量を用いてハミルトニアン関数を明示的に構成し、ジェット bundle 上の微分幾何的技法を用いて逆問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面運動における相対論的スピン粒子の力学は、3階微分を含む変分原理から導出可能か？
• RQ2 相対論的不変性および変分的性質の要請が、スピン粒子の3階微分方程式の運動を一意に決定するか？
• RQ3 3階微分系のハミルトニアン形式は、スピン粒子に対してよく知られたディクソン方程式とどのように関係するか？
• RQ4 ピラーニ補足条件は、3階微分ラグランジュ力学と標準的相対論的スピン粒子方程式を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 2次元空間的次元において、ポincare対称性を有する3階微分相対論的方程式の逆変分問題は解けるか？

主な発見

• ポincare不変性の下で、3階微分を含む相対論的運動方程式でラグランジュ的記述を許容する唯一のものとして、運動方程式 (2) が得られる。
• ラグランジュ関数から導かれたハミルトニアン形式は、ピラーニ条件 $\frak{u}_q \frak{S}^{pq} = 0$ の下でディクソン方程式と同等の系を生成する。
• 正準運動量 $\mathbf{p}$ が $\frak{s}^3$ 倍のハミルトニアン運動量と一致することが示され、相対論的スピン粒子モデルと整合的であることが確認された。
• 系の運動方程式が2つの微分形式の核を記述することを示し、ハミルトニアン系の幾何的構造が裏付けられた。
• ハミルトニアン (35) の行列式 $\Delta$ は明示的に $\Delta = (1 + \mathbf{v} \cdot \mathbf{v})^3$ と計算され、運動量変換に含まれ、相対論的不変性を保証する。
• 方程式 $\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{0}$ により、ハミルトニアン系における運動量保存が確認され、残りの式が完全従属解を選択することが示された。