[論文レビュー] Thompson's group and public key cryptography

Vladimir Shpilrain, Alexander Ushakov|arXiv (Cornell University)|May 24, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、R.トマソンの群Fにおける分解問題に基づく新しい公開鍵交換プロトコルを提案する。この群では、O(n log n)時間で効率的な正規形計算が可能であり、秘密要素の露呈を隠すために鍵交換を再設計することで、長さに基づく攻撃に対する耐性を高め、後量子暗号における非可換群プラットフォームとして実用的性能を備えた有望なソリューションを提供する。

ABSTRACT

Recently, several public key exchange protocols based on symbolic computation in non-commutative (semi)groups were proposed as a more efficient alternative to well established protocols based on numeric computation. Notably, the protocols due to Anshel-Anshel-Goldfeld and Ko-Lee et al. exploited the conjugacy search problem in groups, which is a ramification of the discrete logarithm problem. However, it is a prevalent opinion now that the conjugacy search problem alone is unlikely to provide sufficient level of security no matter what particular group is chosen as a platform. In this paper we employ another problem (we call it the decomposition problem), which is more general than the conjugacy search problem, and we suggest to use R. Thompson's group as a platform. This group is well known in many areas of mathematics, including algebra, geometry, and analysis. It also has several properties that make it fit for cryptographic purposes. In particular, we show here that the word problem in Thompson's group is solvable in almost linear time.

研究の動機と目的

• 群ベース暗号方式における共役探索問題だけでは十分に安全でないという懸念が高まっていることを踏まえ、これを解決すること。
• 非アーベル群におけるより一般的な分解問題に基づく新しい暗号プロトコルを提案すること。
• トマソンの群Fを公開鍵暗号のプラットフォーム群として使用する可能性と安全性を評価すること。
• トマソンの群Fが効率的な正規形計算をサポートすることを示し、実装の実用性を裏付けること。

提案手法

• 共役探索問題を一般化する分解問題を、基本的な難解問題として採用する。
• アリスとボブがそれぞれ $ a_1 w b_1 $ および $ b_2 w a_2 $ の形の要素を交換することで、共有秘密 $ K = a_1 b_2 w a_2 b_1 $ を計算するように、改変された鍵交換プロトコルを設計する。
• プラットフォーム群として、無限表示 $ F = \langle x_0, x_1, \dots \mid x_i^{-1}x_k x_i = x_{k+1} \text{ for } k > i \rangle $ を持つトマソンの群Fを採用する。
• 還元中にインデックスの調整を追跡するための2スタックを用いたアルゴリズムを実装し、$ O(|w|\log|w|) $ 時間で群の要素の正規形を計算する。
• 繰り返し「悪いペア」を削除し、保存された補正値を用いてインデックスを調整することで、任意の語を正規形に還元する。
• 正規形を用いて群の要素の一意的表現と、プロトコル内での効率的検証を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トマソンの群Fにおける分解問題は、公開鍵交換プロトコルの安全な基盤として機能するか？
• RQ2 提案されたプロトコルは、従来の群ベース方式と比較して、特に長さに基づく攻撃に対して耐性を示すか？
• RQ3 トマソンの群Fにおける正規形計算の計算量的複雑性は何か？そして、効率的な暗号操作を支えることができるか？
• RQ4 トマソンの群Fにおける正規形計算の性能は、RSAのような標準的な数論的プラットフォームと比べてどうか？

主な発見

• トマソンの群Fにおける語の正規形は $ O(|w|\log|w|) $ 時間で計算可能であり、これはほぼ線形で、暗号的用途に適した効率性を有する。
• 秘密要素の非対称的交換により、本プロトコルは従来のプロトコルよりも長さに基づく攻撃に対して構造的に耐性がある。
• トマソンの群Fは、RSAとは異なり事前に計算された素数を必要とせず、ランダムな語を即座に生成することで効率的な鍵生成を可能にする。
• 正規形計算のアルゴリズムは2つのスタックを用いてインデックス補正を追跡し、正しさを保証しながら線形対数時間の複雑性を維持する。
• 分解問題は共役探索問題と整数因子分解問題の両方を一般化しており、より強いセキュリティの可能性を示唆する。
• 理論的および実験的結果から、トマソンの群Fは非可換暗号のための実現可能で効率的なプラットフォームであることが示された。