[論文レビュー] Thoroughly Distributed Colorings

Wayne Goddard, Michael A. Henning|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Dye analysis and toxicity参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、各色クラスが総支配集合を形成するグラフにおける完全分散色分けを導入し、体系的に分析している。爪型を含まない最小次数 ≥2 のグラフは、分数総ドミネーティング数（FTD）が少なくとも 1.5 であることを確立し、平面グラフは総ドミネーティング数（td）が 4 以下であることを証明しており、いくつかのケースでタイトな境界を与える。一方、すべての平面三角形分割グラフが td ≥ 2 を満たし、すべての連結3正則グラフが FTD ≥ 2 を満たすと予想している。

ABSTRACT

We consider (not necessarily proper) colorings of the vertices of a graph where every color is thoroughly distributed, that is, appears in every open neighborhood. Equivalently, every color is a total dominating set. We define $ d(G)$ as the maximum number of colors in such a coloring and $\FTD(G)$ as the fractional version thereof. In particular, we show that every claw-free graph with minimum degree at least~$2$ has~$\FTD(G)\ge 3/2$ and this is best possible. For planar graphs, we show that every triangular disc has $\FTD(G) \ge 3/2$ and this is best possible, and that every planar graph has $ d(G) \le 4$ and this is best possible, while we conjecture that every planar triangulation has $ d(G)\ge 2$. Further, although there are arbitrarily large examples of connected, cubic graphs with $ d(G)=1$, we show that for a connected cubic graph $\FTD(G) \ge 2-o(1)$, and conjecture that it is always at least~$2$. We also consider the related concepts in hypergraphs.

研究の動機と目的

• すべての開近傍に色が現れるような頂点彩色を研究する。すなわち、各色クラスが総支配集合であることを意味する。
• 総ドミネーティング数 td(G) の緩和版である分数総ドミネーティング数 FTD(G) を定義し、分析する。
• 爪型を含まない、平面、3正則グラフなどの特定のグラフクラスに対して、FTD(G) および td(G) のタイトな下限および上限を確立する。
• 平面グラフおよび3正則グラフにおける複数の互いに素な総支配集合の存在に関する未解決問題を解決し、新たな予想を提示する。

提案手法

• 完全分散族 F を、総支配集合の集合とし、有効比 |F| / r_F（r_F は F 内での頂点の最大重複度）として定義する。
• FTD(G) を、すべてのこのような族 F における有効比の上界として定義する。
• 線形計画法の双対性および超グラフの横断集合技術を用いて FTD(G) を境界づける。特に、総支配集合の超グラフにおける分数マッチングと関連付ける。
• 既知の超グラフの2色分けおよび2因子に関する結果を用い、組合せ的・構造的議論により、爪型を含まないおよび平面グラフにおける FTD(G) の下限を証明する。
• 超グラフ理論の結果（例えば、3-一様超グラフのほぼ2色分け）を活用し、3正則グラフにおける FTD(G) の下限を導出する。
• コンピュータ支援の検証および極値構成（例：Kleetope、Heawoodグラフ）を用いて、予想の検証と極値の境界を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数が2以上の爪型を含まないグラフにおいて、FTD(G) の最小値は何か？また、1.5 はタイトか？
• RQ2 すべての平面三角形分割グラフは、2つの互いに素な総支配集合に分割可能か？この予想はタイトか？
• RQ3 td(G) = 1 のとき、FTD(G) の最大値は何か？極値のケースではどれほど大きくなるか？
• RQ4 すべての連結3正則グラフは FTD(G) ≥ 2 を満たすか？この境界はタイトか、あるいは改善可能か？
• RQ5 すべての3-一様3正則超グラフは、各頂点が高々2つの横断集合に属する4つの横断集合をもつのか？

主な発見

• 最小次数が2以上のすべての爪型を含まないグラフは、FTD(G) ≥ 1.5 を満たし、この境界は最良である。
• すべての三角形ディスク（平面三角形分割）は、FTD(G) ≥ 1.5 を満たし、この境界はタイトである。
• すべての平面グラフは td(G) ≤ 4 を満たし、特定の構成によってこの上界がタイトであることが示された。
• 最大外平面グラフでは、頂点数が 4 で割って 2 に合同でない限り、2つの互いに素な総支配集合が存在する。
• 連結3正則グラフの分数総ドミネーティング数は、FTD(G) ≥ 2 - o(1) を満たし、すべてのこのようなグラフで FTD(G) ≥ 2 であると予想されている。
• Heawood グラフは td(G) = 1 のとき FTD(G) = 7/3 を達成しており、td(G) = 1 であっても FTD(G) が 2 を超える可能性があることを示している。