[論文レビュー] Three and a half asymptotic properties

Ryan M. Causey|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間間の作用素に対するtransfinite漸近的性質—滑らかさ可能性、型、等ノルム型、中間的漸近的滑らかさ可能性—を定義・分析し、順序数と指数でインデックス付けされた作用素クラスの厳密な階層を確立する。任意の順序数ξと1 < p < ∞に対して、𝒟ξ ⊊ 𝒯ξ,∞ ⊊ 𝒜ξ,∞ = 𝒩ξ,∞ ⊊ 𝒫ξ,∞ ⊊ 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p ⊊ 𝒟ξ+1 が成り立ち、ξが可算な共終型を持つ場合に限り包含関係が厳密であることを示し、制御された漸近的滑らかさモジュラスを持つ同値ノルムを用いた等ノルム型の特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We define and discuss transfinite asymptotic notions of smoothability, type, and equal norm type. We prove distinctness of these notions for a proper class of ordinals and that each class is an ideal. We also extend some results of Godefroy, Kalton, and Lancien to operators and ordinals greater than zero regarding the equivalence of equal norm asymptotic type and uniform renormings with power type smoothness. Finally, we discuss an extension of a non-linear result for quasi-reflexive, asymptotically $p$-smoothable Banach spaces to quasi-reflexive Banach spaces with asymptotic equal norm type $p$.

研究の動機と目的

• バナッハ空間間の作用素に対する滑らかさ可能性、型、等ノルム型のtransfinite漸近的類似物を定義・分析すること。
• すべての順序数ξとp ∈ (1, ∞)に対して、これらの漸近的作用素クラスの間で厳密な包含関係の階層構造を確立すること。
• p-滑らかさ可能性の特徴づけを、べき乗型漸近的滑らかさモジュラスを持つ同値ノルムを用いて、すべての順序数および作用素に拡張すること。
• 準反射的バナッハ空間に対して、非線形埋め込み結果を、漸近的等ノルム型pを有する空間へ一般化すること。

提案手法

• 各順序数ξとp ∈ (1, ∞)に対して、作用素クラス𝒯ξ,p（漸近的滑らかさ可能性）、𝒜ξ,p（漸近的型）、𝒩ξ,p（等ノルム型）、𝒫ξ,p（中間的滑らかさ可能性）を定義する。
• 特にノルムの再定規格化特性に関連して、クラスを定義・分析するための主要不変量として、ξ-Szlenkのべき乗型pξ(A)を用いる。
• 等ノルム型𝒩ξ,pおよび𝒩ξ,∞への属する条件を特徴づけるために、漸近的一様滑らかさのξ-モジュラスϱξ(σ; A:X→(Y,|·|))を用い、滑らかさの境界が制御された同値ノルムを導入する。
• 特に、形式的包含I:ℓq → Ti*qの厳密な特異性を用いて、ブロック列、弱ノルムゼロの木構造、および基底支配の議論を用いて、クラスを区別する。
• ℓp-基底による支配および木構造の推定を用いて、特定のクラスへの非属する条件を示し、特に準反射的空間の状況で有効である。
• LancienとRajaによる、距離空間Gkの準反射的バナッハ空間へのLipschitz埋め込みに関する結果を、空間が𝒩0,p構造を持つ場合にk^{1/p}の形で歪みを定量化することで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間間の作用素に対して、p-滑らかさ可能性、ハール型、等ノルム型、中間的滑らかさ可能性のdistinctなtransfinite漸近的類似物は存在するか？
• RQ2 すべての順序数ξとp ∈ (1, ∞)に対して、これらの漸近的クラスの包含関係が厳密に順序付け可能か？
• RQ3 べき乗型漸近的滑らかさモジュラスを持つ同値ノルムを用いた、等ノルム型pの特徴づけは存在するか？
• RQ4 LancienとRajaの非線形埋め込み結果は、漸近的等ノルム型pを有する準反射的バナッハ空間へ拡張可能か？
• RQ5 ξ-漸近的一様滑らかノルムの再規格化定理における上限は、達成可能か？

主な発見

• 任意の順序数ξと1 < p < ∞に対して、クラスは厳密な包含関係の鎖を満たす：𝒟ξ ⊊ 𝒯ξ,∞ ⊊ 𝒜ξ,∞ = 𝒩ξ,∞ ⊊ 𝒫ξ,∞ ⊊ 𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,p ⊊ 𝒟ξ+1。
• ξが可算な共終型を持つ場合、包含関係𝒯ξ,p ⊊ 𝒜ξ,p ⊊ 𝒩ξ,p ⊊ 𝒫ξ,pはすべて厳密であり、4つの漸近的概念の相違性が裏付けられる。
• 作用素Aが𝒩ξ,pに属するための必要十分条件は、ある定数C, b ≥ 1が存在し、任意のσ > 0に対して、Y上の同値ノルム|·|が存在し、b⁻¹B_Y^|·| ⊂ B_Y ⊂ bB_Y^|·| を満たし、ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|)) ≤ Cσ^p が成り立つことである。
• 作用素Aが𝒩ξ,∞に属するための必要十分条件は、あるb ≥ 1とσ > 0が存在し、任意のε > 0に対して、Y上の同値ノルム|·|が存在し、b⁻¹B_Y^|·| ⊂ B_Y ⊂ bB_Y^|·| を満たし、ϱξ(σ; A:X→(Y,|·|)) ≤ ε が成り立つことである。
• 任意のk ∈ ℕおよびLipschitz写像f: G_k → Xに対して、Xが準反射的でI_X ∈ 𝒩0,pを満たすならば、無限部分集合M ⊂ ℕが存在し、M内のm₁ < n₁ < … < m_k < n_k に対して、||f(m₁,…,m_k) - f(n₁,…,n_k)|| ≤ C·Lip(f)·k^{1/p} が成り立つ。
• 無限次元の準反射的バナッハ空間は𝒯0,∞に属することができない。なぜなら、そのような空間はc₀の部分空間に同型であるとされ、準反射的性と矛盾するからである。